القوى المعممة

لنفترض أن المتجهات الموضعية الجزيئات، r_i، هي وظيفة الإحداثيات المعممة، q_j, j=1,...,m. ثم يتم تقدير النزوح الظاهري δr_i عن طريق

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,}$

حيث δq_j هي النزوح الظاهري للإحداثيات المعممة q_j.

يصبح الشغل الافتراضي لنظام الجزيئات

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$

جمع معاملات q_j لذلك

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.}$

يمكن صياغة الشغل الافتراضي لأي نظام جزيئات في شكل

${\displaystyle \delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},}$

بحيث تكون

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,}$

وتسمى قوى التعميم المرتبطة بالإحداثيات المعممة q_j, j=1,...,m.

عند تطبيق مبدأ الشغل الافتراضي نجد سهولة في كثير من الأحيان في الحصول على النزوح الظاهري من سرعات النظام. لنظام الجزيئات n، ندع سرعة كل جزيء P_i be V_i, then the virtual displacement δr_i يمكن صياغته أيضًا في شكل [2]

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.}$

يعني ذلك أن القوى المعممة، Q_j، يمكن تحديدها كما يلي

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$