اللوغاريتم الطبيعي لاثنين

يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين تقريبا القيمة التالية:

\ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.

يحصل على اللوغاريتم الطبيعي للعدد اثنين في قواعد أخرى باستعمال الصيغ التالية:

\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.

خصوصا، اللوغاريتم عشري للعدد اثنين يساوي ما يلي:

\log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.

بينما مقلوب هذا العدد، والذي يعرف باللوغاريتم الثنائي، فقيمته تساوي:

\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095

(

A020862).[1][2]

التمثيل بالمتسلسلات

المتسلسلة المتناسقة المتناوبة

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .

تعرف هذه المتسلسلة باسم «المتسلسلة المتناسقة المتناوبة».

\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.

\ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.

\ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.

\ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.

تمثيلات على شكل بي بي بي

\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.

التمثيل بالتكامل

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2

\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2

\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2

-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2

مراجع

"معلومات عن اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com.
"معلومات عن اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على موقع oeis.org"، oeis.org.

وصلات خارجية

بوابة رياضيات

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.