انحناء ريكسي
في الهندسة التفاضلية ، موتر انحناء ريتشي ، الذي سمي على اسم غريغوريو ريتشي-كورباسترو ، هو كائن هندسي يتم تحديده باختيار مقياس ريماني أو مقياس ريماني زائف على مشعب . يمكن اعتباره ، على نطاق واسع ، مقياسًا لدرجة اختلاف هندسة موتر متري معين محليًا عن الفضاء الإقليدي العادي أو الفضاء الإقليدي الزائف .
يمكن وصف موتر Ricci بقياس كيفية تشوه الشكل أثناء تحرك المرء على طول الجيوديسيا في الفضاء. في النسبية العامة ، التي تتضمن الإعداد الريماني الزائف ، ينعكس هذا من خلال وجود موتر ريتشي في معادلة رايشودوري . لهذا السبب جزئيًا ، تقترح معادلات مجال أينشتاين أنه يمكن وصف الزمكان بمقياس ريماني زائف ، مع علاقة بسيطة بشكل مذهل بين موتر ريتشي ومحتوى المادة في الكون.
مثل الموتر المتري ، يخصص موتر ريتشي لكل مساحة مماسة في المشعب شكلاً خطيًا متماثلًا ( Besse 1987 ، p. 43). [1] على نطاق واسع ، يمكن مقارنة دور انحناء ريتشي في الهندسة الريمانية مع دور لابلاسيان في تحليل الوظائف. في هذا القياس ، فإن موتر انحناء ريمان ، والذي يعتبر انحناء ريتشي ناتجًا ثانويًا طبيعيًا ، يتوافق مع المصفوفة الكاملة للمشتقات الثانية للدالة. ومع ذلك ، هناك طرق أخرى لرسم نفس القياس.
في الطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد ، يحتوي موتر ريتشي على جميع المعلومات التي يتم ترميزها في الأبعاد الأعلى بواسطة موتر انحناء ريمان الأكثر تعقيدًا . في جزء منه، هذه البساطة تسمح لتطبيق العديد من الأدوات الهندسية والتحليلية، والتي أدت إلى حل التخمين بوانكاريه خلال عمل ريتشارد هاميلتون S. و غريغوري بيرلمان .
في الهندسة التفاضلية ، تسمح الحدود السفلية على موتر ريتشي على مشعب ريماني باستخراج معلومات هندسية وطوبولوجية عالمية عن طريق المقارنة (راجع نظرية المقارنة ) مع هندسة شكل مساحة انحناء ثابت . هذا نظرًا لأنه يمكن استخدام الحدود السفلية على موتر ريتشي بنجاح في دراسة الطول الوظيفي في الهندسة الريمانية ، كما هو موضح لأول مرة في عام 1941 عبر نظرية مايرز .
أحد المصادر الشائعة لموتّر ريتشي هو أنه ينشأ عندما ينتقل المرء المشتق المتغير مع موتر لابلاسيان. هذا ، على سبيل المثال ، يفسر وجوده في صيغة Bochner ، والتي تُستخدم في كل مكان في الهندسة الريمانية. على سبيل المثال ، تشرح هذه الصيغة سبب اعتماد تقديرات التدرج بسبب Shing-Tung Yau (وتطوراتها مثل عدم المساواة Cheng-Yau و Li-Yau) دائمًا تقريبًا على الحد الأدنى لانحناء Ricci.
في عام 2007 ، أظهر جون لوت ، وكارل ثيودور ستورم ، وسيدريك فيلاني بشكل حاسم أن الحدود السفلية لانحناء ريتشي يمكن فهمها بالكامل من حيث الهيكل الفضائي المتري لمشعب ريماني ، إلى جانب شكل الحجم. [2] هذا تأسيس ارتباط عميق بين انحناء ريتشي و الهندسة اسرشتاين و النقل الأمثل ، الذي هو في الوقت الحاضر موضوع الكثير من البحث.