تحويلات الجيب وجيب التمام

إن تحويل الجيب لفورييه لـ  f (t)، يرمز له بـ ${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$ أو ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)}$ ويعرَّف بـ:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt.}$

إذا كانت t تدل على الزمن، فإن ν تدل على التردد (بواحدة دورة في واحدة الزمن)، ولكن وبشكل مجرد يمكن أن يكونا أي زوج من المتحولات المرتبطة ببعضها.

يكون هذا التحويل تابعاً فردياً دائماً بالنسبة للتردد ν:

${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(-\nu )=-{\hat {f}}^{s}(\nu ).}$

إن تحويل جيب التمام لفورييه لـ  f (t)، يرمز له بـ ${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$ أو ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)}$ ويعرَّف بـ:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt.}$

يكون هذا التحويل تابعاً زوجياً دائماً بالنسبة للتردد ν:

${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu ).}$

بعض الكتَّاب عرَّفوا تحويل جيب التمام للتوابع الزوجية بالنسبة لـ t فقط. في هذه الحالة يكون تحويل الجيب معدوماً. وتحويل جيب التمام زوجياً أيضاً ويعطى بالعلاقة المبسّطة التالية:

${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt.}$

وبشكل مشابه في حال كان  f  تابعاً فردياً، في هذه الحالة يكون تحويل جيب التمام معدوماً. وتحويل الجيب فردياً أيضاً ويعطى بالعلاقة المبسّطة التالية:

${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt.}$

إن التابع الأصلي  f  يمكن أن تتم استعادته انطلاقاً من تحويلاته حسب الفرضية المعتادة، بحيث يجب أن يكون  f  وكلا تحويليه قابلين للتكامل بشكل مطلق. لمزيد من التفاصيل حول هذه الفرضيات يمكن رؤية نظرية تحويل فورييه العكسي.

إن علاقة التحويل العكسي هي [1]

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu ,}$

إن صيغة تحويل فورييه المستخدمة كثيراً هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t))\,dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\&={\hat {f}}^{c}(\nu )-i{\hat {f}}^{s}(\nu )\end{aligned}}}$

• التحويل جيب التمام المتقطع
• Discrete sine transform ^{[الإنجليزية]}

• Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211

• بوابة رياضيات