نظرية التشعب

التشعب في الرياضيات (بالإنجليزية: bifurcation)‏ هي التغير النوعي في سلوك نظام ديناميكي ما نتيجة تغيير أحد معاملاته parameter.[1][2][3] مثال فزيائي على هذا السلوك هو مثلا عندما تضغط على قطعة خشبية في منتصفها وتعتبر القوة التي تضغط بها هي المعامل فترى أن الخشبة تتقوس وتغير شكلها إلى أن تصل القوة إلى قيمة معينة تسمى قيمة التشعب bifurcation value يتغير عندها سلوك الخشبة فتكسر. وتسمى النقطة التي يظهر فيها هذا السلوك أي في مثالنا نقطة تكسر الخشبة تسمى نقطة التشعب bifurcation point. ويتم عادة رسم هذا السلوك في مخطط يسمى مخطط التشعب bifurcation diagramm. أما طريقة حساب مكان ظهور هذا التغير في السلوك فهي مبينة أسفله. وتوجد العديد من الأنواع من التشعب أهمها:

تفرع عقدة سرج saddel node
تفرع حرج متعدي transcritical
تفرع فرشاتي pitchfork
تفرع هوبف Hopf bifurcation

إذا اعتبرنا المعادلة التفاضلية التالية:
${\dot {x}}=f(x,\mu )$
فإن النقطة التي يحدث فيها تغير نوعي في سلوك هذا النظام الديناميكي أو ما يعبر عنه رياضيا بمصطلح نقطة التشعب هي أولا نقطة توازن equilibrium point وثانيا نقطة يصير فيها تخطيط النظام أي مصفوفة جاكوبي التابعة له صفرا (في حالة تشعب في ال $R^{1}$ ) أو تحتوي على قيمة ذاتية ذات جزئ حقيقي يساوي صفرا(في حالة تشعب في ال $R^{2}$ ). أي رياضياتيا:
$f(x)=0$
و
${\frac {\partial f}{\partial x}}=0$

إذا لم يمكن إيجاد مثل هذه النقطة أو النقاط فإن النظام لا يحتوي على تشعب.

مخطط التشعب هو رسم لنقاط التوازن أو الاستقرار التي يحتلها النظام حسب قيمة المعامل

تشعب في ال $R^{1}$

يمكن اعتبار أنواع التشعبات التالية أهم التشعبات في ال $R^{1}$ :

تشعب عقدة سرج saddel node bifurcation
تشعب حرج متعدي transcritical bifurcation
تشعب فرشاتي pitchforck bifurcation

تشعب عقدة سرج

يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:

${\dot {x}}=\mu -x^{2}+...+HOT$

حيث Hot اختصار ل Higher Order Terms و عامة يمكن قول أن النظام

${\dot {x}}=f(x,\mu )$
حيث
$f(x_{0},\mu _{0})=0$
و
$f_{x}|_{x_{0}}=0$
يحتوي على تشعب عقدة سرج إذا توفرت الشروط التالية:
$f_{\mu }|_{x_{0}}\neq 0$

$f_{xx}|\neq 0$

تشعب حرج متعدي

يكون الشكل العام لمعادلة التشعب الحرج المتعدي كالآتي:

${\dot {x}}=\mu x-x^{2}+...+HOT$

و عامة يمكن قول أن النظام

${\dot {x}}=f(x,\mu )$
حيث
$f(x_{0},\mu _{0})=0$
و
$f_{x}|_{x_{0}}=0$
يحتوي على تشعب متعدي حرج إذا توفرت الشروط التالية:
$f_{\mu }|_{x_{0}}=0$

$f_{xx}|_{x_{0}}\neq 0$
$f_{x\mu }|_{x_{0}}\neq 0$

تشعب فرشاتي

يكون الشكل العام لمعادلة تشعب العقدة سرج كالآتي:

${\dot {x}}=\mu x-x^{3}+...+HOT$ و عامة يمكن قول أن النظام

${\dot {x}}=f(x,\mu )$
حيث
$f(x_{0},\mu _{0})=0$
و
$f_{x}|_{x_{0}}=0$
يحتوي على تشعب فرشاتي إذا توفرت الشروط التالية:
$f_{\mu }|_{x_{0}}=0$

$f_{xx}|_{x_{0}}=0$
$f_{x\mu }|_{x_{0}}\neq 0$
$f_{xxx}|_{x_{0}}\neq 0$

تشعب في ال $R^{2}$ تشعب هوبف

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:

${\dot {x_{1}}}=f_{1}(x_{1},x_{2},\mu )$ ${\dot {x_{2}}}=f_{2}(x_{1},x_{2},\mu )$

حيث

$f_{1}=f_{2}=0$

و

$f_{x}|_{0}={\begin{pmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{pmatrix}}$

و إذا قمنا بحساب القيم التالية:

تشعب في ال $R^{n}$

تعتبر دراسة التشعبات في ال $R^{n}$ أصعب من الحالات المذكورة أعلاه إلا أنه إذا في بعض الحالات يمكن إرجاع نظام ما ينتمي إلى $R^{n}$ إلى نظام ينتمي إلى ال $R^{1}$ أو ال $R^{2}$ باستعمال نظرية متعدد الفروع الوسطي center manifold theory حيث يمكن اختزال النظام المعقد في نظام ذا أبعاد أصغر ومن ثم دراسة التشعب على متعدد الفروع الوسطي center manifold . أي باختصار إرجاع هذه الحالة إلى الحالات المذكورة أعلاه

مراجع

Peters, A. D.؛ Jaffé, C.؛ Delos, J. B. (1994)، "Quantum Manifestations of Bifurcations of Classical Orbits: An Exactly Solvable Model"، Phys. Rev. Lett.، 73 (21): 2825–2828، Bibcode:1994PhRvL..73.2825P، doi:10.1103/PhysRevLett.73.2825، PMID 10057205.
Courtney, Michael؛ Jiao, Hong؛ Spellmeyer, Neal؛ Kleppner, Daniel؛ Gao, J.؛ Delos, J. B.؛ وآخرون (1995)، "Closed Orbit Bifurcations in Continuum Stark Spectra"، Phys. Rev. Lett.، 74 (9): 1538–1541، Bibcode:1995PhRvL..74.1538C، doi:10.1103/PhysRevLett.74.1538، PMID 10059054.
Founargiotakis, M.؛ Farantos, S. C.؛ Skokos, Ch.؛ Contopoulos, G. (1997)، "Bifurcation diagrams of periodic orbits for unbound molecular systems: FH2"، Chemical Physics Letters، 277 (5–6): 456–464، Bibcode:1997CPL...277..456F، doi:10.1016/S0009-2614(97)00931-7.

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي
بوابة الفيزياء
بوابة علوم

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Peters, A. D.؛ Jaffé, C.؛ Delos, J. B. (1994)، "Quantum Manifestations of Bifurcations of Classical Orbits: An Exactly Solvable Model"، Phys. Rev. Lett.، 73 (21): 2825–2828، Bibcode:1994PhRvL..73.2825P، doi:10.1103/PhysRevLett.73.2825، PMID 10057205.

[2] Courtney, Michael؛ Jiao, Hong؛ Spellmeyer, Neal؛ Kleppner, Daniel؛ Gao, J.؛ Delos, J. B.؛ وآخرون (1995)، "Closed Orbit Bifurcations in Continuum Stark Spectra"، Phys. Rev. Lett.، 74 (9): 1538–1541، Bibcode:1995PhRvL..74.1538C، doi:10.1103/PhysRevLett.74.1538، PMID 10059054.

[3] Founargiotakis, M.؛ Farantos, S. C.؛ Skokos, Ch.؛ Contopoulos, G. (1997)، "Bifurcation diagrams of periodic orbits for unbound molecular systems: FH2"، Chemical Physics Letters، 277 (5–6): 456–464، Bibcode:1997CPL...277..456F، doi:10.1016/S0009-2614(97)00931-7.