تصادم مرن

نعني بالتصادم أحادي المحور أن التصادم يحدث هنا على خط مستقيم بدون حدوث أي زوايا تتخذها الأجسام بعد الاصطدام. نفرض أن لدينا جسمان 1 و 2 وكتلة كل منهما m والسرعة u قبل التصادم و v بعد التصادم. فتتساوى طاقة الحركة قبل وبعد التصادم، وكذلك يتساوى كمية التحرك قبل وبعد التصادم. وطبقا للمعادلة العامة لنيوتن لكمية الحركة والتي تنص على:

${\displaystyle m_{1}\,u_{1}+m_{2}\,u_{2}=m_{1}\,v_{1}+m_{2}\,v_{2}}$

إذا ً بالمثل، فطاقة الحركة قبل وبعد التصادم يستحسن أن تكون متساويتان، أي أن:

${\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}$

وكمية التحرك الكلية متقاربتان قبل وبعد التصادم، أي أن:

${\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.}$

ولكن ذلك قد يكون مرهقا. ويمكننا تلافي تلك الصعوبة باختيار سرعة أحد الجسمين صفرا، أي أننا نضع ${\displaystyle \ v_{1}}$ == 0 أو ${\displaystyle \ v_{2}}$ == 0 وهذه العملية تعادل تغيير مختبر المشاهدة. ولكن النتيجة لا تتغير بتغير مختبر المشاهدة، إذ يمكننا بعد الحصول على إحدى السرعات الرجوع إلى مختبرنا الأول لحساب السرعة الثانية.

فبمجرد وضع إحدى السرعتين = 0 يمكننا حل المعادلتين بسهولة، فنحصل على:

${\displaystyle v_{1}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ , ${\displaystyle v_{2}={\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

وبالتالي:

${\displaystyle \ v_{1}=u_{1}}$ , ${\displaystyle \ v_{2}=u_{2}}$.

وإلى هنا تبدو تلك المعادلة الأخيرة كما لو لم يحدث تصادم على الإطلاق، ولكن لنتريث قليلا.

فعلى سبيل المثال، إذا كان لدينا كرتان مختلفتي الكتلة Ball 1 و Ball 2 ومختلفتي السرعة، قبل التصادم:

Ball 1: mass = 3 kg, v = 4 m/s

Ball 2: mass = 5 kg, v = −6 m/s

وبعد التصادم:

Ball 1: v = −8.5 m/s

Ball 2: v = 1.5 m/s

(ملحوظة: السرعة من القيم المتجهة. لهذا إذا تحركت الأولي من اليمين إلي السار فتكون القيمة المتجهة لسرعتها موجبة، أما الكرة التي تتحرك من اليسار إلي اليمين فتكون سرعتها المتجهة سالبة.)

نستخلص من القيم قبل التصادم وبعده المعادلة:

${\displaystyle \ v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$

شرح الحل:

باستعمال معادلة طاقة الحركة نحصل على:

${\displaystyle \ m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle \Rightarrow m_{1}(v_{1}-u_{1})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})}$

وبالنسبة إلى معادلة كمية الحركة نحصل على:

${\displaystyle \ m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})}$

وبقسمة معادلة «طاقة الحركة» على معادلة «كمية الحركة»، نحصل على:

${\displaystyle \ v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$

ونجد النتائج الآتية:

• تنعكس السرعة النسبية لإحدي الكرات بالنسبة للكرة الأخرى بعد الاصطدام،
• متوسط كمية تحرك كل كرة قبل وبعد التصادم متساوية.

(هذا مع إهمال قوى الاحتكاك !) كما لا يحدث في التصادم المرن تهشم ولا انبعاج، فتلك من خصائص التصادم غير المرن.

تصادم مرن لجسمين متساويا الكتلة

وكما كان متوقعا، فالحل لا يتغير إذا قمنا بإضافة ثابت إلى جميع السرعات قبل وبعد الاصطدام. وهذا يعادل إمكانية اختيار مختبر متحرك (أو مشاهد متحرك) بسرعة ثابتة، فهذا لا يؤثر على النتيجة، وبذلك يتحقق قانوني انحفاظ طاقة الحركة وانحفاظ كمية الحركة.

تصادم مرن لجسمين في مختبر متحرك بسرعة ثابتة

• ارتداد (فيزياء)
• تصادم
• حركة حرارية

• بوابة الفيزياء