تكامل ريمان

رسم بياني لتكامل دالة في جزء معين، حيث تظهر المساحة تحت المنحنى رفقة مساحة أخرى للمستطيلات

من أجل دالة معرفة بـ ${\displaystyle \chi _{[c,d]}}$ على المجال [c, d] (بحيث a ≤ c ≤ d ≤ b):

${\displaystyle \int \chi _{[c,d]}(x)\,\mathrm {d} x=d-c.}$

المساحة تحت منحنى هذه الدالة تساوي مساحة المستطيل ذو القاعدة [c, d] والطول 1.

إذن التكامل في هذه الحالة يصبح:

${\displaystyle \int (a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+\dots +a_{n}f_{n})=a_{1}\int f_{1}+a_{2}\int f_{2}+\dots +a_{n}\int f_{n}}$

من خلال ما سبق، يُمكن استنتاج أن هذا التعريف هو تعريف ثابت، هذا يعني أنه صالح لكل الدوال المتكاملة في مجال أو جزء معين.

لكي تكون دالة معينة تزايدية، يجب أن يتحقق الشرط التالي:

${\displaystyle \varphi \leq f\Rightarrow \int \varphi \leq \int f}$

وهذا يعني أن:

${\displaystyle I_{-}(f):=\sup _{\varphi \leq f}\int \varphi \leq \int f.}$

ومنه:

${\displaystyle \psi \geq f\Rightarrow \int \psi \geq \int f}$

العلاقة التالية صحيحة لكل ψ معرفة على مجال معين، ومنه فإن:

${\displaystyle I_{+}(f):=\inf _{\psi \geq f}\int \psi \geq \int f}$

هذا الحد الأدنى والذي هو مجموع القيم التزايدية للدالة f يسمى «التكامل الأعلى للدالة f».

التكامل الأدنى للدالة f دائما ما يكون أكبر من التكامل الأعلى، لكنه قد يساويه في بعض الحالات، فمثلا هذه التكاملات تكون متساوية في –∞ و +∞ إذا كانت الدالة f غير مكبورة وغير مصغورة.