حلقي وقطبي

كمثال بسيط من الفيزياء الخاصة بالبلازما المحصورة حلقيًا، خذ بعين الاعتبار نظام متناسق مع المحور مع انجراف متراكز لأسطح نصف قطر ${\displaystyle r}$(كمقاربة أولية لهندسة الحقل المغناطيسي في [توكاماك] بدائي لكن مماثل طوبوغرافيًا لأي نظام حصر حلقي مع أسطح متداخلة ومنجرفة) وارمز للزاوية الحلقية ب ${\displaystyle \zeta }$ والزاوية القطبية ب ${\displaystyle \theta }$. ثم نظام الإحداثيات القطبي/حلقي يتصل بإحداثيات كارتيزية القيساسية بقوانين التحويل هذه: ${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta }$${\displaystyle y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta }$${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

حيث تكون ${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$

الاختيار الطبيعي هندسيًا هو أن تأخذ ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$، معطيًا الاتجاهات الحلقية والقطبية المعروضة بالأسهم في الشكل بالأعلي، لكن هذا يجعل ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$نظام إحداثيات يساري منحني الأضلاع. كما يتم افتراضه عادًة عند إعداد إحداثيات انجرافية لوصف بلازما محصورة مغناطيسيًا أن المجموعة ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ تكون نظام إحداثيات يميني، ${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$، يجب أن تكس أيًا من الاتجاه القطبي باتخاذ ${\displaystyle s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1}$، أو عكس الاتجاه الحلقي باتخاذ ${\displaystyle s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1}$. يستخدم كلا الخيارين في الأدب.

لدراسة الحركة منفردة الجزيئ في أجهزة البلازما المنحصرة حلقيًا، يجب معرفة موجهات السرعة والتسارع. بآخد الاختيار الطبيعي ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$في الاعتبار، المتجهات الموحدة لنظام الإحداثيات القطبي والحلقي ${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$يمكن التعبير عنها باستخدام: ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$ وفقًا للإحداثيات الديكارتية. يتم التعبير عن متجه الموضع باستخدام: ${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }}$ ويتم بعدها إعطاء متجه السرعة باستخدام: ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$ و متجه التسارع هو: ${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}}$${\displaystyle +\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }}$${\displaystyle +\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

• نتوء

• بوابة هندسة رياضية