دالة تشاندراسخار-كيندال

ناخذ الدور في المادلة ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$ وباستعمال نفس المعادلة، نحصل على

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {H} )=\lambda ^{2}\mathbf {H} }$.

في هوية المتجه ${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {H} )-\nabla ^{2}\mathbf {H} }$ يمكن أن نحدد ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$ لأنه ملف لولبي، يقود ذلك إلى متجه معادلة هيلمهولتز

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {H} +\lambda ^{2}\mathbf {H} =0}$.

كل حل للمعادلة أعلاه ليس هو حلًا للمعادلة الأصلية ، ولكن العكس صحيح. إذا ${\displaystyle \psi }$ هي دالة العددية التي تلبي المعادلة ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0}$ ثم يتم إعطاء الحلول المستقلة الثلاثة خطيا لمعادلة هيلمهولتز المتجه بواسطة

${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \psi ,\quad \mathbf {T} =\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} ,\quad \mathbf {S} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times \mathbf {T} }$

عندما تكون ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ هي متجه وحدة ثابت. حيث أن ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {S} =\lambda \mathbf {T} }$، يمكن إيجاد أن ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {S} +\mathbf {T} )=\lambda (\mathbf {S} +\mathbf {T} )}$. ولكن هذا نفس ما هو موجود في المعادلة الاصلية، لهذا ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {S} +\mathbf {T} }$ حيث أن P هي الحقل القطبي و T هي الحقل الحلقي. وهكذا، عند استبدال T بـ S، نحصل على أكثر الحلول عموميًة.

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} .}$

بأخذ متجه الوحدة بالإتجاه Z ، أي ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$، مع الدورية L بالإتجاه Z مع قيم حدية متلاشية في ${\displaystyle r=a}$ الحل يعطى عن طريق[3][4]

${\displaystyle \psi =J_{m}(\mu _{j}r)e^{im\theta +ikz},\quad \lambda =\pm (\mu _{j}^{2}+k^{2})^{1/2}}$

حيث أن ${\displaystyle k=\pm 2\pi n/L,\ n=0,1,2,...}$ هي دالة بيسل، ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,...}$ الاعداد الصحيحة ${\displaystyle \mu _{j}}$ و ${\displaystyle ak\mu _{j}J_{m}'(\mu _{j}a)+m\lambda J_{m}(\mu _{j}a)=0.}$ تحددها القيمة الحدية ${\displaystyle m=n=0}$، القيم الذاتية لـ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$ يجب ان تعامل بشكل منفصل. بما أن هنا ${\displaystyle \theta }$، يمكننا أن نعتقد أن قيمة z هي حلقية و math>\mathbf{\hat n}=\mathbf{e}_z</math> بأنها قطبية، متناسقًة مع الاتفاقية.

• بوابة الفيزياء