ديناميكا المنشآت

Single degree of freedom system: simple mass spring model

لجملة بسيطة ذات درجة حرية وحيدة (مثلاً كتلة M، على نابض قساوته K) وبإهمال التخميد تكون معادلة الحركة من الشكل التالي:${\displaystyle M{\ddot {x}}+kx=F(t)}$

حيث ${\displaystyle {\ddot {x}}}$ ̈ تعبر عن التسارع (المشتق الثاني للانتقال) و${\displaystyle x}$ تعبر عن الانتقال.

في حال كون الحمل ${\displaystyle F(t)}$ عبارة تابع إثارة ثابتة القدر مطبقة بشكل فجائي (ideal step loading)، يكون حل معادلة الحركة:

${\displaystyle x={\frac {F_{0}}{k}}[1-cos{(\omega t)}]}$

حيث خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{{k}}{{كاش}}}} ، والتواتر الطبيعي ${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$.

الانتقال الإستاتيكي الساكن للجملة وحيدة درجة الحرية:${\displaystyle x_{static}={\frac {F_{0}}{k}}}$

لذا يمكن التعويض بالصيغة أعلاه:${\displaystyle x=x_{static}[1-cos(\omega t)]}$

وهذا القانون يعطي السجل الزمني (النظري) للمنشأ المعرض للحمل المفروض ${\displaystyle F(t)}$ حيث أن التخامد تم إهماله ويعتبر هذا تبسيطاً كبيراً لتطبيقه على المنشآت الحقيقية، حيث أن هذا التابع المفروض للحمل (تابع إثارة ثابتة القدر مطبقة بشكل فجائي) هو نموذج معقول لتطبيق العديد من الأحمال الحقيقية، كالإضافة المفاجئة لقطعة من الأثاث، أو إزالة التدعيم لسقف خرساني مصبوب حديثاً، ولكن في الواقع الأحمال لا يتم تطبيقها على الفور إنما تتراكم على مدى فترة من الوقت (قد تكون قصيرة جداً في الواقع) بازدياد درجات الحرية يصبح من الصعب جداً حساب السجل الزمني يدوياً، المنشأت الحقيقية تحلل لاخطياً باستخدام برامجيات الحاسب وفق طريقة العناصر المحدودة.