رقاص بسيط

القوة المحركة للرقاص : ${\displaystyle |{\vec {F}}_{\mathrm {tan} }|=F_{\mathrm {R} }}$

بواسطة تحليل القوى المؤثرة على الرقاص يمكن تعيين معادلة الحركة له:

لدينا رقاص خيطي معلق فيه كتلة m ويقع تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g فتنشأ عليه القوة (F_R(t, التي تعمل مماسة للحركة القوسية للرقاص . وتزداد تلك القوة التي تحاول إرجاع الرقاص إلى وضع السكون كلما زادت زاوية انزياحه φ عن نقطة السكون.

${\displaystyle F_{\mathrm {R} }(t)=-m\cdot g\cdot \sin \left(\varphi (t)\right)}$

ونلاحظ عند رجوع الرقاص من أقصى نقطة ارتفاع له أن سرعته تزداد في اتجاه نقطة السكون، وبعد تخطيها تتناقص سرعته وهو في طريقه إلى أعلى نقطة على الناحية الثانية . وتغير سرعة الرقاص تعني أن كتلة الرقاص يعتريها تسارع مماسا لاتجاه حركتة القوسية. وطبقا لقانون نيوتن الثاني ينشأ التسارع بسبب تأثير قوة على الرقاص وتتناسب معه.

${\displaystyle F_{\mathrm {a} }(t)=m\cdot a_{\mathrm {tan} }(t)}$

بالتعويض عن التسارع المماسي يمكننا صياغة العلاقة بين القوة المماسة ومعدل تغير الزاوية :

${\displaystyle a_{\mathrm {tan} }(t)=l\cdot {\ddot {\varphi }}(t)}$

${\displaystyle F_{\mathrm {a} }(t)=m\cdot l\cdot {\ddot {\varphi }}(t)}$

حيث: ${\displaystyle \ell }$ طول الخيط .

(ملحوظة : تحتاج هذه الخطوة معرفة حساب التفاضل ، حيث ${\displaystyle {\ddot {\varphi }}(t)}$ المشتقة التفاضلية الثانية للزاوية بالنسبة للزمن .)

ونظرا لأن تلك هي القوة الوحيدة المؤثرة على الرقاص ولا توجد قوى مشوشرة أخرى فيمكننا مساواة المعادلتين بعضهما البعض، فنحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية :

${\displaystyle F_{\mathrm {a} }(t)=F_{\mathrm {R} }(t)}$

${\displaystyle -m\cdot g\cdot \sin \left(\varphi (t)\right)=m\cdot l\cdot {\ddot {\varphi }}(t)}$

${\displaystyle 0={\frac {g}{l}}\cdot \sin \left(\varphi (t)\right)+{\ddot {\varphi }}(t)}$

وباعتبار أن زاوية الانزياح صغيرة يمكن الحصول على التقريب الآتي للمعادلة :

${\displaystyle \sin(\varphi )\approx \varphi }$

وبالتعويض نحصل على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية، وحلها يعطينا معادلة الاهتزاز :

${\displaystyle 0={\frac {g}{l}}\cdot \varphi (t)+{\ddot {\varphi }}(t)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\hat {\varphi }}\cdot \sin \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t+\varphi _{0}\right)}$

في تلك المعادلة ترمز ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ إلى «مطال الزاوية» و φ₀ ترمز إلى طور الزاوية الابتدائي عند الزمن ${\displaystyle t=0}$. وبالتالي نحصل على التردد الزاوي للرقاص ${\displaystyle \omega _{0}}$ و زمن الدورة ${\displaystyle T}$ لتلك الحركة الاهتزازية .

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

ومن تلك المعادلتين أن كلا من تردد الهزاز زدورته تعتمدان فقط على طول الخيط وعجلة الجاذبية الأرضية، ولا تعتمد على كتلة الرقاص .

• رقاص
• رقاص فوكو
• حركة توافقية بسيطة
• طاقة الوضع
• بقاء الطاقة

• بوابة الفيزياء