زمرة أساسية

بفرض أن X فضاء طوبولوجي، وبأن x₀ نقطة في X. وأننا نهتم بالمجموعة التالية من الدوال المستمرة (المتصلة) والتي تُسمى بـالعُقد وهي مزودة بـنقطة الأساس x₀.

${\displaystyle \{f:[0,1]\rightarrow X|f(0)=x_{0}=f(1)\}}$

وتُعتبر الآن الزُمرة الأساسية لـ X والتي نقطتها الأساسية x هي مجموعة هوموتوبي المعيارية${\displaystyle h}$

${\displaystyle \{f:[0,1]\rightarrow X|f(0)=x_{0}=f(1)\}_{/h}}$

وتصاحبها ضرب الزُمرة التي تُعرفها (f ∗ g)(t) := f(2t) إذا كان 0 ≤ t ≤ 1/2 و(f ∗ g)(t) := g(2t − 1) إذا كان 1/2 ≤ t ≤ 1. بالتالي فإن عُقدة f ∗ g تلي أولاً العُقدة f «بضعف السرعة» ثم تلي العُقدة g بضعف السرعة. ويُعرف الناتج عن فئتي الهوموتوبي من العُقدتين [f] و[g] على أنه [f ∗ g], ويمكن إيضاح أن هذا الناتج لا يعتمد على اختيار الممثلين.

ومن خلال الناتج السابق، تُشكِّل مجموعة كافة فئات الهوموتوبي للعُقد ذات النقطة الثابتة x₀ الزُمرة الأساسية لـ X عند النقطة x₀ ويُرمز لها بـ

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}),}$

أو فقط بـ π(X, x₀). ويُعد العنصر الحيادي هو الدالة الثابتة (التابع الثابت) عند نقطة الأساس، أما مقلوب العُقدة f فهو العُقدة g وتُعرفه g(t) = f(1 − t). وهذا يعني أن العُقدة g تلي العُقدة f في الاتجاه العكسي.

وعلى الرغم من أن الزُمرة الأساسية بوجهٍ عام تعتمد على اختيار نقطة الأساس، إلا أنه قد تبين أن، وصولاً إلى تساوي الشكل (في الواقع، حتى الوصول إلى تساوي الشكل الداخلي), هذا الاختيار لا يمثل أي اختلاف طالما أن الفضاء X هو مسار متصل. بالتالي يمكننا في حالة فضاءات المسار المتصل كتابة π₁(X) بدلاً من π₁(X, x₀) دون الوقوع في الالتباس كلما اهتممنا بـفئة تساوي الشكل فقط.

• الزُمرة الهوموتوبية، هي تعميم للزُمرة الأساسية

ويوجد أيضًا مفاهيم مشابهة للزُمرة الأساسية فيما يخص التنوعات الجبرية مثل (الزُمرة الأساسية المنتشرة)، أما فيما يخص متعددات الشعب المدارية فيوجد (الزُمرة الأساسية لمتعددة الشعب المدارية).

• Ronald Brown, Topology and groupoids, Booksurge (2006). ISBN 1-4196-2722-8
• Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0
• Peter Hilton and Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology for cohomology]
• Richard Maunder, Algebraic Topology, Dover (1996) ISBN 0-486-69131-4
• Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers (1955)
• James Munkres, Topology, Prentice Hall (2000) ISBN 0-13-181629-2
• Herbert Seifert and William Threlfall, A Textbook of Topology (translated from German by Wofgang Heil), Academic Press (1980), ISBN 0-12-634850-2
• Edwin Spanier, Algebraic Topology, Springer-Verlag (1966) ISBN 0-387-94426-5
• André Weil, On discrete subgroups of Lie groups, Ann. Math. 72 (1960), 369-384.
• Fundamental group على بلانيت ماث
• Fundamental groupoid على بلانيت ماث
• إيريك ويستاين، Fundamental group، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem (An elementary discussion of the fundamental groupoid of a topological space and the fundamental groupoid of a simplicial set).
• Animations to introduce to the fundamental group by Nicolas Delanoue

• بوابة رياضيات