زوج لاكس

زوج لاكس هو زوج من المصفوفات أو المؤشرات ${\displaystyle L(t),A(t)}$ تعتمد على الزمن وتقوم على فضاء هلبرت الثابت، عندما تكون

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[L,A]}$

حيث أن ${\displaystyle [L,A]=LA-AL.}$ غالباً, كما في المثال أدناه، تعتمد ${\displaystyle A}$ على ${\displaystyle L}$ بالطريقة الموصوفة مسبقاً, إذاً هذه المعادلة الغير-خطية للمتغير ${\displaystyle L}$ تعتبر كدالة للمتغير ${\displaystyle t}$. عندئذ يمكن أن تكون كلاً من القيم الذاتية eigenvalue و الطيف المستمر continuous spectrum للقيمة L مستقلة عن t. المصفوفات/المؤثرات L تُدعى الطيفية المتساوية isospectral كمتغير ${\displaystyle t}$.

الملاحظة الأساسية هي أن المعادلة الموجودة أعلاه هي على شكل اللامتناهي في الصغر infinitesimal form من عائلة المصفوفات ${\displaystyle L(t)}$ التي لدى جميعها نفس الطيف، وذلك باستعمال المعطيات

${\displaystyle L(t)=g^{-1}(t)L(0)g(t)\,}$

هنا، يمكن أن تكون الحركة g معقد بشكل تعسفي. لنفترض العكس ${\displaystyle L(t)=g^{-1}(t)L(0)g(t)}$ لعائلة قابلة للاختلاف لمرة واحدة بشكل تعسفي من المؤثرات القابلة للعكس ${\displaystyle g(t)}$. ثم نرى التغاير

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-g^{-1}{\frac {dg}{dt}}g^{-1}L(0)g+g^{-1}L(0){\frac {dg}{dt}}=LA-AL}$

with ${\displaystyle A=g^{-1}{\frac {dg}{dt}}}$.

تكون معادلة كورتوغ-ديفارس (معادلة كي دي في) KdV equation

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}\,}$

يمكن الآن إعادة صياغتها كمعادلة لاكس

${\displaystyle L_{t}=[L,A]\,}$

مع

${\displaystyle L=-\partial ^{2}+u\,}$ (مؤثر ستورم–ليوفيل Sturm-Liouville operator)

${\displaystyle A=4\partial ^{3}-3(u\partial +\partial u)\,}$

و هذا يفسر لعدد لانهائي من التكاملات الأولى لمعادلة كي دي في.

هنالك أمثلة أخرى لأنظمة من المعادلات التي يمكن أن تُصاغ كزوج لاكس ومنها:

• معادلة بنيامين-أونو Benjamin–Ono equation
• معادلة شرودينغر اللاخطية المكعبة أحادية البعد
• نظام دافي-ستيوارتسون Davey-Stewartson system
• معادلة كادومتسيف-بيتفياشفيلي Kadomtsev–Petviashvili equation
• معادلة كورتوغ-ديفارس Korteweg–de Vries equation
• هرم كي دي في KdV hierarchy
• معادلة كورتوغ-ديفارس المعدلة Modified Korteweg-de Vries equation
• معادلة ساين-غوردون Sine-Gordon equation

• Lax, P. (1968)، "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves"، Comm. Pure Applied Math.، 21: 467–490، doi:10.1002/cpa.3160210503
• P. Lax and R.S. Phillips, Scattering Theory for Automorphic Functions, (1976) Princeton University Press.

• بوابة رياضيات