سرعة الزمرة

تعرف سرعة الزمرة v_g رياضياً بالمعادلة:[1][2][3]

${\displaystyle v_{g}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,}$

حيث

• ω هو التردد الزاوي (راديان/الثانية)
• k هو عدد الموجة (راديان/متر)

بالمقابل فإن سرعة الطور تعطى بالمعادلة" v_p = ω/k

تُعرف الدالة ω(k) والتي تُعطي ω كدالة ل k ب«علاقة التشتت».

إذا كانت ω تتناسب طردًا مع k، تكون سرعة الزمرة مساوية تمامًا لسرعة الطور. يمكن للموجة أيًّا كان شكلها السفر بهذه السرعة دون تشتت.

إذا كانت ω تحويلًا خطيًا ل k، ولكن غير متناسبان طرديًا، (ω = ak + b)، تختلف سرعة الزمرة عن سرعة الطور. سيسافر منحنى التغير في قيمة الحزمة الموجية بسرعة الحزمة، بينما ستنتقل قمم وقيعان المنحنى بسرعة الطور.

إذا لم ω تحويلًا خطيًا ل k، سيتشتت منحنى التغير في قيمة الحزمة الموجية خلال انتقاله. بما أن الحزمة الموجية تحوي طيفًا من مختلف الترددات الموجية (وبالتالي قيم مختلفة ل k)، ستختلف سرعة الزمرة ∂ω/∂k باختلاف قيمة k. وبالتالي، لا يسير منحنى التغير في قيمة الحزمة الموجية بسرعة ثابتة، ولكن ستنتقل عناصر عدده الموجي k بسرعات مختلفة، مشتتةً منحنى التغير في قيمة الحزمة الموجية. في حال كان لدى لدى الحزمة الموجية نطاق ضيق من الترددات، وكانت ω(k) خطية على ذلك النطاق الضيق، ستكون فترة التشتت صغيرة، تبعًا للاخطيّة. على سبيل المثال، من أجل موجات الجاذبية للمياه العميقة تكون ${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$ وبالتالي vg = vp/2.

ترتكز هذه الفكرة على نمط موجة جر لكيلفن من أجل موجة المقدمة (موجة الصدمة) لجميع السفن والأجسام السابحة. بغض النظر عن السرعة التي يسيرون بها، طالما كانت سرعتهم ثابتة، ستظهر موجة الجر على كل طرف زاوية مقدارها 19.47 درجة = ثلث جيب الزاوية القوسيّ على خط التنقل.

أحد اشتقاقات سرعة الزمرة هو كالتالي.[4][5]

اعتبر حزمة موجية كدالة لموضع x وزمن t حيث t: α(x,t).

ولتكن A(k) هي تحويل فورييه لها في الزمن t = 0،

${\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.}$

حسب مبدأ التراكب، ستكون حزمة الموجة في أي وقت t هي:

${\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},}$

حيث ω دالة ضمنية ل k.

افترض أن الحزمة الموجية α أحادية اللون (ذات موجة واحدة)،بالتالي تبلغ A(k) ذروتها حول عدد موجي مركزي k0.

ثم، بالاستخطاط:

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}}$

حيث:

${\displaystyle \omega _{0}=\omega (k_{0})}$ و ${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}}$

وبعد إضافة بعض الحيل الجبرية يكون لدينا:

${\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.}$

هناك عاملان لهذه العبارة، العامل الأول ${\displaystyle e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}}$، يصف حزمية موجية أحادية اللون مثالية بمتجه موجي k0، بقمم وقيعان تتحرك بسرعة طور ${\displaystyle \omega _{0}/k_{0}}$ ضمن منحنى التغير في قيمة الحزمة الموجية.

العامل الآخر هو:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}}$

ويدل على منحنى التغير في قيمة الحزمة الموجية. تعتمد دالة منحنى التغير هذه على الموضع والزمن فقط عبر التوافقية ${\displaystyle (x-\omega '_{0}t)}$.

وبالتالي يسير منحنى التغير في قيمة الحزمة الموجية بسرعة:

${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,}$

ما يفسر معادلة سرعة الزمرة.

جزء من الاشتقاق السابق هو متتالية تايلور:

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}$

إذا كان للحزمة الموجية انتشار واسع نسبيًا للتردد الموجي، أو إن امتلك التشتت ω(k) متغيرات حادة (بسبب الرنين مثلًا)، أو في حال سافرت الحزمة الموجية لمسافات بعيدة، لا يعود هذا الافتراض صالحًا، وتصبح الشروط عالية الرتبة في متسلسلة تايلور مهمًا.

كنتيجة لذلك، لا يتحرك منحنى التغير في قيمة الحزمة الموجية فقط، بل يتشتت أيضًا، إلى حد يمكن وصفه ب«تشتت سرعة الزمرة». باستفاضة، تتحرك عناصر تردد مختلفة من الحزمة الموجية بسرعات مختلفة، بحيث تتحرك العناصر الأسرع باتجاه مقدمة الحزمة، والأبطأ باتجاه الخلف. أخيرًا، تصبح الحزمة الموجية منتشرة. يعد هذا تأثيرًا مهمًا في امتداد الإشارة عبر الألياف البصرية وفي تصميم الليزر عالي الطاقة قصير النبض.

طُرحت فكرة سرعة الزمرة واختلافها عن سرعة الطور من قبل عالم الرياضيات الإيرلندي ويليام هاملتون عام 1839، وعُولجت لأول مرة من قبل جون ويليام ريليه في «نظرية الصوت» التي كتبها عام 1877.

من أجل الضوء، يتعلق كل من معامل الانكسار n وطول الموجة في الفراغ λ0 وطول الموجة في الوسط λ بالعلاقة:

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{p}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{p}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},}$

حيث سرعة الطور هي vp = ω/k

وبالتالي يمكن حساب سرعة الزمرة عبر أي من المعادلات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{p}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{p}-\lambda {\frac {\partial v_{p}}{\partial \lambda }}=v_{p}+k{\frac {\partial v_{p}}{\partial k}}.\end{aligned}}}$