صيغة براهماغوبتا

أبسط صيغة لصيغة براهماغوبتا هي الصيغة التي تعطى في الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعهa, b, c, d على الشكل التالي:

${\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

حيث s تعطى بالعلاقة: ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

وهي تعميم لمعادلة هيرون لحساب مساحة المثلث.

لتكن ${\displaystyle S}$ هي مساحة الرباعي جانبه. ${\displaystyle S}$ هي مجموع مساحتي المثلثين ${\displaystyle (ADB)}$ و ${\displaystyle (BDC)}$ إذن

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C}$

بما أن ${\displaystyle (ABCD)}$ رباعي دائري فإن ∠DAB = 180° − ∠DCB و منه فإن sin A = sin C، و منه: ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sin A(ab+cd)}$.

إذن ${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}\,}$

بتطبيق قانون جيب التمام نستنتج أن:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C\,}$

نعوض cos C = −cos A، لدينا ${\displaystyle 2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\,}$

نعوض في متساوية المساحة،

${\displaystyle 16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\,}$

${\displaystyle =(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\,}$

${\displaystyle =((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\,}$

${\displaystyle =(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).\,}$

نأخذ ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$، فنجد

${\displaystyle 16S^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\,}$

${\displaystyle .S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

• معادلة هيرون

إيريك ويستاين، معادلة براهماغوبا، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة رياضية