طريقة الصلابة المباشرة

الخطوة الأولى عند استخدام طريقة الصلابة المباشر هو التعرف على العناصر الفردية التي تشكل الهيكل.

وبمجرد تحديد العناصر، يتم قطع الهيكل عند العقد (النقاط التي تربط العناصر المختلفة معا).

ثم يتم تحليل كل عنصر على حدة لحصول علي المعادلات الصلابة. ترتبط القوى والأزاحات من مصفوفة الصلابة التي تعتمد على هندسة وخصائص العنصر. في الجمالون ينقل القوي في الضغط أو الشد فقط. وهذا يعني أن في البعدين السين والصاد كل عقدة لها اثنين من درجات الحرية (DOF) النزوح الأفقي والرأسي.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}$

وفي الإطار يكون قادر على تحمل الانحناء بالإضافة إلى ضغط وشد.وهذا يؤدي إلى ثلاث درجات الحرية من النزوح الأفقي والرأسي.فتكون المصفوفة 6*6

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k_{56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _{z2}\\\end{bmatrix}}}$

بعدالأنتهاء من العلاقات الفردية لصلابة العنصر يجب أن يتم تجميعها في الهيكل الأصلي.الخطوة الأولى في هذه العملية هي تحويل هذة العلاقات الفردية في النظام العالمي لالهيكل كاملا.في حالة الجمالون، شكل العالمي لطريقة الصلابة تعتمد على زاوية العنصر فيما يتعلق نظام الإحداثيات العالمي (هذا النظام هو عادة الكرتيزي).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}$ (for a truss element at الزاوية β) بشكل مكافئ، ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\\\end{array}}\right]={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\\\end{array}}\right]}$

حيث ${\displaystyle c_{x}}$ و ${\displaystyle c_{y}}$ هما مكونات متجه وحدة تتماشى مع العنصر.هذا النموذج يكشف عن كيفية تعميم صلابة العنصر إلى 3-D دعامات في الفراغ ببساطة عن طريق تمديد النمط الذي هو واضح في هذه الصيغة. بعد تطوير مصفوفة الصلبة في نظام الإحداثيات العالمي، لا بد من دمجها في مصفوفة واحدة بالنظام العالمي. عند دمج هذه المصفوفات معا هناك نوعان من القواعد التي يجب اتباعها توافق الإزاحات وقوة التوازن في كل عقدة عن طريق ربط عنصر نزوح العقدي إلى نزوح العقدي العالمي.

الإزاحات والقوي كلهما يحتويان على درجة واحدة من الحرية في الهيكل.يتم دمج المصفوفات الصلابة من خلال زيادة أو توسيع كل مصفوفة في التشكل إلى إزاحات وتحميل بالنظام العالمي.

${\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$ (for element (1) of the above structure)

وأخيرا، تم بناء مصفوفة صلابة العالمية.

عند بناء المصفوفة العالمية للصلابة والإزاحات، والقوي، يمكن التعبير عن النظام بالكامل باستخدام معادلة مصفوفة واحدة.

تم معرفة كل درجة حرية في الهيكل، أما اللإزاحة أو القوة.

بعد إدراج القيمة المعروفة لكل درجة من الحرية، معادلة الصلابة الرئيسية كاملة وجاهزة ليتم تقييمها.وهناك العديد من الأساليب المختلفة المتاحة لتقييم معادلة المصفوفة تشمل ولكن لا تقتصر على التحلل تشوليسكي وتقييم القوة الغاشمة لأنظمة من المعادلات.إذا كان الهيكل ليس مقيد بشكل صحيح، تطبيق القوي سوف يؤدي إلى حركة فيجب أن تضاف شروط دعم إضافية. الطريقة الموضحة في هذا القسم هي لمحة عامة عن الأسلوب المباشر للصلابة. وينبغي الأطلاع علي مصادر إضافية لمزيد من التفاصيل حول هذه العملية فضلا عن الافتراضات بشأن خصائص المواد المتأصلة في العملية.