طريقة غاوس-زايدل

تعتمد طريقة غاوس زايدل على أسلوب التكرار لحل معادلات خطية عددها n بمجهول x.

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

وتعرّف بالتكرار:

${\displaystyle L_{*}\mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {b} -U\mathbf {x} ^{(k)},}$

بحيث: ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}$ هو التكرار أو التقريب رقم k لـ${\displaystyle \mathbf {x} ,\,\mathbf {x} ^{k+1}}$ هو التكرار رقم k + 1 لـ${\displaystyle \mathbf {x} }$.

وبالتفصيل:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle A=L_{*}+U\qquad {\text{where}}\qquad L_{*}={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\quad U={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}.}$

ومن ثم يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كما يلي:

${\displaystyle L_{*}\mathbf {x} =\mathbf {b} -U\mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=L_{*}^{-1}(\mathbf {b} -U\mathbf {x} ^{(k)}).}$

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j<i}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j>i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i,j=1,2,\ldots ,n.}$[2]

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}16&3\\7&-11\\\end{bmatrix}}}$ و ${\displaystyle b={\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}}$

نحتاج لاستخدام المعادلة

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=L_{*}^{-1}(\mathbf {b} -U\mathbf {x} ^{(k)})}$

في صورة

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=T\mathbf {x} ^{(k)}+C}$

حيث:

${\displaystyle T=-L_{*}^{-1}U}$ و${\displaystyle C=L_{*}^{-1}\mathbf {b} .}$

يجب أن نحلل المصفوفة ${\displaystyle A_{}^{}}$ إلى مجموع ${\displaystyle L_{*}^{}}$ و${\displaystyle U_{}^{}}$:

${\displaystyle L_{*}={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\\\end{bmatrix}}}$ و${\displaystyle U={\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}.}$

ومعكوس ${\displaystyle L_{*}^{}}$ هو:

${\displaystyle L_{*}^{-1}={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\\\end{bmatrix}}}$.

نستطيع الآن إيجاد:

${\displaystyle T=-{\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}.}$

بذلك نكون قد حصلنا على ${\displaystyle T_{}^{}}$ و${\displaystyle C_{}^{}}$

نفرض:

${\displaystyle x^{(0)}={\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}.}$

ثم يمكننا أن نحسب:

${\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(3)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(4)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(5)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(6)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(7)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

وبذلك تكون قيمة x:

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

• الرقم الصغير.
• عدد غير أولي.
• معادلة xʸ=yˣ.
• الأس العشري.
• معادلات نيوتن-أويلر.

• بوابة تحليل رياضي