عدد مربع مثلثي

سلسلة الأعداد المربعة المثلثية هي

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... (متسلسلة A000537 في OEIS).

أعطى تشارلز ويتستون (1854) بشكل خاص اشتقاق بسيط عبر نشر كل مكعب في المجموع في صورة مجموعة من الأعداد الفردية المتعاقبة مبتدأ بما يلي

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.}$

تلك المتطابقة لها صلة بالأعداد المثلثية ${\displaystyle T_{n}}$ كما يلي:

${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$

وبالتالي تكون المجاميع ${\displaystyle n^{3}}$ مبتدئة بعد تلك القيم السابقة ${\displaystyle 1^{3}}$ حتى ${\displaystyle (n-1)^{3}}$. بتطبيق هذه الخاصية، عبر متطاقة أخرى معروفة:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$

نحصل على الاشتقاق التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

توضيح مرئي يبين أن مربع العدد المثلثي يعادل مجموع المكعبات.

في الأدب الرياضياتي الحديث يستعمل ستين روبرت (1971) تفسير تعداد المستطيل لهذه الأعداد لتكوين مبرهنة هندسية للمتطابقة ويلاحظ أيضا أن بالإمكان برهنتها بسهولة من الاستقراء ويقر أن أوتو توبليتز (1963) قد قدم «برهانا عربيا قديما ومثيرا».

• إيريك ويستاين، Nicomachus's theorem، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• A visual proof of Nicomachus's theorem

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات