فضاء حلقي

الفضاء الحلقي هو كائن رياضي يتسنى فيه الجمع بين الأشياء تبادليًّا من خلال معاملات الضرب، وتتحقق فيه معظم قواعد التلاعب بالمتجهات. يشبه الفضاء الحلقي كثيرًا الفضاء المتجهي تجريديًّا، وإن كانت تؤخذ المعاملات فيها في حلقات والتي هي كائنات جبرية أعم من الحقول المستخدَمة في الفضاء المتجهي. والفضاء المتجهي الذي يأخذ معاملاته في حلقة ${\displaystyle R\!}$ يسمى فضاءً متجهيًّا على ${\displaystyle R\!}$.

تمثل الفضاءات الحلقية الأداة البسيطة في الجبر التماثلي. وتتضمن الأمثلة عليها مجموعة الأعداد الصحيحة ${\displaystyle \mathbb {Z\!} }$ والشبكية المكعبة في البعد ${\displaystyle d}$ ورمزها ${\displaystyle \mathbb {Z\!} ^{d}}$، وكذلك حلقة الزمرة لأي زمرة.

${\displaystyle \mathbb {Z\!} }$ هي فضاء حلقي على نفسها، وهي منغلقة تحت الجمع والطرح (رغم أنه من الكافي أن يُشترَط الانغلاق تحت الطرح فقط). إن الأعداد على الشكل ${\displaystyle n\alpha }$ حيث ${\displaystyle n\in \mathbb {Z\!} }$ و${\displaystyle \alpha }$ عدد صحيح ثابت تشكل فضاءً حلقيًّا جزئيًّا، حيث لكل ${\displaystyle (n,\alpha )}$ في ${\displaystyle \mathbb {Z\!} }$

${\displaystyle n\alpha \pm m\alpha =(n\pm m)\alpha }$،

و ${\displaystyle (n\pm m)}$ لا تزال في ${\displaystyle \mathbb {Z\!} }$. بإعطاء عددين صحيحين ${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$، يكون أصغر فضاء حلقي يحتوي هذين العددين هو الفضاء الحلقي للقاسم المشترك الأكبر لكلا العددين، ${\displaystyle \alpha =\gcd(a,b)}$.[1]