قانوني فيك للانتشار

تطبيق قانون حفظ المادة في حجم موحل في الصغر ذو مساحة سطح A وسمك dx. التدفق الداخل إلى الحجم مقداره ${\displaystyle J_{in}}$ والخارج منه ${\displaystyle J_{out}}$.

لنفرض أنّ التركيز ${\displaystyle \phi }$ يتغيّر فقط باتجاه محور x. إذا ما طبّقنا قانون حفظ المادة على حجم موحل في الصغر ذو مساحة ${\displaystyle A}$ وسمك لامتناهٍ في الصغر ${\displaystyle dx}$، كما في الرسم، نحصل على المعادلة الآتية:

${\displaystyle \left(\phi (t+dt)-\phi (t)\right)Adx=\left(J_{in}-J_{out}\right)Adt}$

أو:

${\displaystyle \left(\phi (t+dt)-\phi (t)\right)Adx=\left(J(x+dx)-J(x)\right)Adt}$

الجهة اليسرى من المعادلة تعطينا الكمية الكلية للمادة في الحجم الذي نتمعّن به حاليًا. أمّا الجهة اليمنى، فهي عبارة عن الفرق بين كميّة المادّة التي تتدفّق بين جهتي الحجم (السطح الأخضر في الرسم والسطح المقابل له). حسب قانون حفظ المادّة، وإذا فرضنا أنّه بداخل الحجم أعلاه لا تتكوّن أو تختفي أي جزيئات من المادة (أي لا يوجد مصدر أو مصرف للمادة في الحجم)، فإنّ الفرق بين الكميات المتدفقة من الجهتين يساوي الكمّيّة الموجودة في داخل الحجم بكل لحظة.

من الواضح أنّه باختزال A، وبتعديلات جبرية طفيفة، بالإمكان إحالة المعادلة إلى الصورة التالية:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}=-{\frac {\partial J}{\partial x}}}$

لكن العلاقة بين تدفق الانتشار وبين تركيز المادة معروفة من قانون فيك الأوّل:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}=-{\frac {\partial J}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)=D{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}$

بالخطوة الأخيرة فرضنا أن معامل الانتشار، D، لا يتغير مع x، ولذلك بالإمكان إخراجه من المشتقة الجزئية والحصول على قانون فيك الثاني.

قانون فيك الثاني العام (ثلاثي الأبعاد) يكتب بالصورة التالية:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi }$

وهو معروف أيضًا باسم معادلة الحرارة، بحيث أنّ:

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

أما إذا كان معامل الانتشار يتعلق بالاحداثيات المكانيّة فيكون قانون فيك الثاني على الصورة الآتية:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nabla \left(D\nabla \phi \right)}$

• إحدى الحالات التي من المهم معاينتها هي الحالة الراسخة التي لا يتغيّر فيها حقل التراكيز مع الزمن، أي أنّ المشتقة الجزئية بالمتغير t تساوي صفر. في هذه الحالة نحصل من قانون فيك الثاني على معادلة لابلاس:

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$

ويطلق الرياضيون على حلول هذه المعادلة (التي تتعلّق بالشروط الحدودية للمسألة) اسم الدوال التوافقية.

انتشار مادّة ما بشكل أحادي البعد في وسط نصف لا-نهائي (بالأزرق). الشرط الحدودي في المستوى ${\displaystyle x=0}$ يحدد حل مسألة الانتشار

• إحدى حالات الانتشار التي من السهل حلّها، نسبيًا، هي انتشار في وسط نصف لا-نهائي، يتغير فيه تركيز المادة المنتشرة باتجاه واحد فقط (انظر الرسم). الشرط الحدودي في المستوى ${\displaystyle x=0}$ يحدّد نوعيّة الحل الناتج لمعادلة فيك.

لأنّ قانون فيك الثاني أحادي البعد يحتوي على ثلاثة عمليات اشتقاق (اثنتان بالمتغيّر x وواحدة بالمتغير t)، سوف نحتاج إلى ثلاثة شروط حدوديّة لحل المسألة بكاملها. إحدى الحالات البسيطة هي:

1. ${\displaystyle n(x,t=0)=n_{i}}$، ويسمى أيضًا شرط ابتدائي أو أوّلي، ويمثل كون المادة بتركيز أوّلي متساوٍ في كل مكان في اللحظة ${\displaystyle t=0}$؛
2. ${\displaystyle n(x\to \infty ,t)=n_{i}}$، وهو يعبّر عن كون تركيز المادّة في النقاط البعيدة بعدًا هائلاً عن الحد ${\displaystyle x=0}$ مساويًا دائمًا للتركيز الأوّلي (أي لكل t) ولن يتأثر أبدًا بعمليّة الانتشار بسبب البعد الزمني والمكاني.

أمّا بالنسبة للشرط الحدودي الثالث والأهم، في المستوى ${\displaystyle x=0}$، فسنمعن النظر في شرطين مختلفين:

ينص الشرط الأوّل على أنّ التركيز على طول المستوى ${\displaystyle x=0}$ يبقى ثابتًا بكل نقطة زمنيّة، أيّ:

${\displaystyle n(x=0,t)=n_{0}}$

في هذه الحالة فإنّ الحل الناتج سيكون:

${\displaystyle {\frac {n(x,t)-n_{i}}{n_{0}-n_{i}}}=1-{\mbox{erf}}({\frac {x}{2{\sqrt {Dt}}}})={\mbox{erfc}}({\frac {x}{2{\sqrt {Dt}}}})}$

بحيث أنّ ${\displaystyle {\mbox{erf}}}$ هي دالة تابع الارتياب، تحقّق:

${\displaystyle {\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$

و${\displaystyle {\mbox{erfc}}}$ هي الدالة المتممة لها.

الشرط الثاني ينص على أنّ تدفّق الانتشار في المستوى ${\displaystyle x=0}$، والذي نحصل عليه من قانون فيك الأوّل، هو ثابت مع الزمن:

${\displaystyle -D{\frac {\partial n}{\partial x}}{\Big |}_{x=0}=j_{0}}$

في هذه الحالة، يكون حل الانتشار هو:

${\displaystyle n(x,t)-n_{i}=2j_{0}{\sqrt {\frac {t}{\pi D}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}-{\frac {j_{0}x}{D}}{\mbox{erfc}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt}}}}\right)}$

يشار إلى أنّ الكميّة ${\displaystyle 2{\sqrt {Dt}}}$ ذات وحدات مسافة وتسمّى مسافة الانتشار، لكونها تظهر في الحلول أعلاه دائمًا في مقام كسر بسطه هو ${\displaystyle x}$، وهي تعطي مقياسًا لمدى انتشار جزيئات المادة في زمن t.