لوغاريتم

يمكننا القول أن ناتج رفع رقم ما b إلى الأس 3 هو حاصل ضرب الرقم b بنفسه ثلاث مرات، وبالتعميم فإن ناتج رفع الرقم b إلى الأس n هو حاصل ضرب b بنفسه n مرة أي:

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b1\times b2\times \cdots \times bn} _{n{\text{factor}}}.}$

من أجل ${\displaystyle x\in ]0,2[}$ ، عندها يمكن كتابة العلاقة:[12]

${\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}}{{\biggl (}{\frac {(x-1)^{n}}{n}}{\biggl )}}=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots }$

${\displaystyle \ln {\biggl (}{\frac {3}{2}}{\biggl )}\approx {\biggl (}{\frac {3}{2}}-1{\biggl )}-{\frac {{\biggl (}{\frac {3}{2}}-1{\biggl )}^{2}}{2}}+{\frac {{\biggl (}{\frac {3}{2}}-1{\biggl )}^{3}}{3}}-{\frac {{\biggl (}{\frac {3}{2}}-1{\biggl )}^{4}}{4}}+{\frac {{\biggl (}{\frac {3}{2}}-1{\biggl )}^{5}}{5}}\approx {\frac {391}{960}}\approx 0.40}$

باستعمال تحويلات أويلر على متسلسلة تايلور نحصل على المتفاوتة التالية:

من أجل كل عدد حقيقي ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{n}}{\biggl (}1-{\frac {1}{x}}{\biggl )}^{n}}={\biggl (}1-{\frac {1}{x}}{\biggl )}+{\frac {1}{2}}{\biggl (}1-{\frac {1}{x}}{\biggl )}^{2}+{\frac {1}{3}}{\biggl (}1-{\frac {1}{x}}{\biggl )}^{3}+\dots }$

${\textstyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$ حيث ${\displaystyle x>0}$ ومنه فإن ${\textstyle \ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}dt=0}$

الدالة الأصلية للوغاريتم الطبيعي ${\textstyle \int \ln(x)=x\ln(x)-x+c}$حيث ${\displaystyle c}$ عدد حقيقي

إن من بين أهم خصائص دالة اللوغاريتم الطبيعي هي خاصية تحويل الجداء إلى مجموع.

• ${\displaystyle \ln {\biggl (}\coprod _{i=1}^{n}{a_{i}}{\biggl )}=\sum _{i=1}^{n}{\ln(a_{i})}}$ حيث ${\displaystyle a_{1}}$ و ${\displaystyle a_{2}}$ و ${\displaystyle a_{3}}$ و ... و ${\displaystyle a_{i}}$ أعداد حقيقية موجبة قطعا.

نشر عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نايبير أول بحث وجدول للوغاريتمات عام 1614م. وقد اكتشف السويسري جوبست برجي اللوغاريتمات على نحو مستقل في نفس الوقت تقريبا. وفي أوائل القرن السابع عشر، قدم الإنجليزي هنري برجز للرقم الأساسي 10، وبدأ في وضع جدول به 14 خانة للوغاريتمات العشرية، ثم أكمل الهولندي أدريان فلاك العمل الذي بدأه برجز. وحوالي عام 1622م، وضع الإنجليزي إدموند جنتر، تصورًا لفكرة كتابة الأعداد على مستطيلات رفيعة وفقًا للوغاريتم الخاص بكلٍ منها، وضربها وقسمتها عن طريق انزلاق مستطيل على الآخر. وتمثل هذه الفكرة أساس المسطرة المنزلقة. استمر استخدام جداول برجز - فلاك حتى تم وضع جداول لوغاريتمات عادية بها 20 خانة في بريطانيا في الفترة من 1924 و حتى 1949م.[13]

أدى استخدام الحواسيب والحاسبات الإلكترونية إلى إلغاء الحاجة إلى استخدام اللوغاريتمات في العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات لها أهميتها في الأغراض النظرية.[14]