مبرهنة ليوفيل (ميكانيك هاملتوني)

لنفرض أنه لدينا مجموعة نقاط ${\displaystyle X}$ حجم هذه المجموعة في فضاء بعده n يمكن فهمه على أنه دالة نسميها ${\displaystyle \rho }$ من ال ${\displaystyle R^{n}\rightarrow R}$ وهي دالة تنسب لكل مجموعة من حجمها. ومن البديهي أنه على هذه الدالة أن تكون موجبة دائما حيث أنه لا وجود لحجم سالب. وبهذا يكون حجم المجموعة ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle Vol_{\rho }\left(X\right)=\int _{X}\rho (x)dx}$

فلنفرض أنه لدينا النظام التالي:

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

و مجموعة من النقاط البدئية ${\displaystyle X}$ يمكن أن ننسب لها حجما

${\displaystyle Vol_{\rho }\left(X\right)}$

و إذا فرضنا أن ${\displaystyle \varphi _{t}\left(X\right)}$ هي مجموعة حلول النظام the set of the flows فإن مبرهنة ليوفيل تقول ما يلي:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial t}}Vol_{\rho }\left(\varphi _{t}\left(X\right)\right)\right|_{t=0}=Vol_{div\left(\rho f\right)}\left(X\right)}$

حيث ${\displaystyle div=\nabla }$

• بوابة رياضيات
• بوابة الفيزياء