متباينة برنولي

ليكن ${\displaystyle x}$ من ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$. لنبين بالترجع على ${\displaystyle n}$ أن: ${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$

الخاصية صحيحة من أجل ${\displaystyle n=0}$ لأن:

${\displaystyle (1+x)^{0}\geq 1+0x}$

تكافئ ${\displaystyle 1\geq 1}$.

نفترض أن الخاصية صحيحة من أجل ${\displaystyle n}$ من ${\displaystyle N}$.إذن:

${\displaystyle (1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)}$ (لأن ${\displaystyle (1+x)\geq 0}$)

${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^{2}\Longleftarrow }$

${\displaystyle .(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^{2}\Longleftarrow }$

${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x\Longleftarrow }$

إذن الخاصية صحيحة من أجل ${\displaystyle n+1}$، و منه النتيجة.

• Carothers, N.L. (2000)، Real analysis، Cambridge: Cambridge University Press، ص. 9، ISBN 978-0-521-49756-5.
• Bullen, P. S. (2003)، Handbook of means and their inequalities، Dordercht [u.a.]: Kluwer Academic Publ.، ص. 4، ISBN 978-1-4020-1522-9.
• Zaidman, S. (1997)، Advanced calculus : an introduction to mathematical analysis، River Edge, NJ: World Scientific، ص. 32، ISBN 978-981-02-2704-3.

• إيريك ويستاين، Bernoulli Inequality، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• Bernoulli Inequality by Chris Boucher, Wolfram Demonstrations Project.
• Arthur Lohwater (1982)، "Introduction to Inequalities"، Online e-book in PDF format، مؤرشف من الأصل في 14 أكتوبر 2012.
• Paper “Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey“

• بوابة تحليل رياضي