مصفوفة دوران

بما أن

${\displaystyle \sin \theta =\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )}$

و

${\displaystyle -\sin \theta =\cos({\frac {\pi }{2}}+\theta )}$

يمكننا كتابة مصفوفة الدوران على النحو التالي

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )\\\cos({\frac {\pi }{2}}+\theta )&\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

ونلاحظ أن مدخلات المصفوفة هي نفسها جيوب تمام اتجاه المحاور الجديدة نسبة إلى القديمة.

للتسهيل يمكننا أن نكتب

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\ r_{x'x}&r_{x'y}\\\\r_{y'x}&r_{y'y}\\\end{bmatrix}}}$

حيث r_x'x هو جيب تمام إتجاه المحور 'x بالنسبة لمحور x والباقي بالمثل.

من السهل دائما القيام بالدوران حول أحد المحاور الأساسية، فالعملية مشابهة تماما للدوران في بعدين حول نقطة الأصل مع تعديل بسيط.

تُعطى مصفوفات الدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحاور الأساسية x و y و z على الترتيب كالآتي

${\displaystyle R_{x,\theta }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta \\0&-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},R_{y,\theta }={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}},R_{z,\theta }={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

بالفعل يمكننا أن نمثل تدوير نظام الإحداثيات حول محور z بزاوية θ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

كما نرى فإن المحور z لم يتغير.

يمكننا بالمثل القيام بالدوران حول المحور y، وتكون المعادلة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

عندما نقوم بفك المعادلة السابقة وإعادة ترتيبها، سنجد أن

${\displaystyle x'=x\cos \theta -z\sin \theta }$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=x\sin \theta +z\cos \theta }$

والتي يمكن إعادة التعبير عنها كالتالي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z'\\x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z\\x\\y\end{bmatrix}}}$

يرجى ملاحظة الفرق في ترتيب الإحداثيات في المصفوفتين العموديتين.

بأسلوب مماثل نجد أن الدوران حول المحور x يتم التعبير عنه كالتالي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta \\0&-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

رأينا فيما سبق ثلاث حالات خاصة لتدوير نظام الإحداثيات حول المحاور الأساسية. سنعطي الآن مصفوفة الدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة حول أي محور يمر بنقطة الأصل و I هي وحدة المتجه لهذا المحور.

${\displaystyle R_{I,\theta }={\begin{bmatrix}\cos \theta +I_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&I_{x}I_{y}\left(1-\cos \theta \right)+I_{z}\sin \theta &I_{x}I_{z}\left(1-\cos \theta \right)-I_{y}\sin \theta \\I_{y}I_{x}\left(1-\cos \theta \right)-I_{z}\sin \theta &\cos \theta +I_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&I_{y}I_{z}\left(1-\cos \theta \right)+I_{x}\sin \theta \\I_{z}I_{x}\left(1-\cos \theta \right)+I_{y}\sin \theta &I_{z}I_{y}\left(1-\cos \theta \right)-I_{x}\sin \theta &\cos \theta +I_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)\end{bmatrix}}}$

حيث I_x و I_y و I_z هي مركبات وحدة المتجه I.