معادلة برنولي التفاضلية

في الرياضيات، معادلة برنولي التفاضلية هي معادلة تفاضلية عادية من الشكل:

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)y^{n}\!}$

وتحل باستخدام الخطوات التالية: نقسم طرفي المعادلة على ${\displaystyle y^{n}}$ فتصبح المعادلة من الشكل

${\displaystyle {\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {p(x)}{y^{n-1}}}=q(x)}$

نقوم بعملية استبدال متغيرات بحيث نحصل على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى

${\displaystyle w={\frac {1}{y^{n-1}}}\!}$

${\displaystyle w'={\frac {1-n}{y^{n}}}y'\!}$

${\displaystyle {\frac {w'}{n-1}}+p(x)w=q(x)\!}$

حيث يمكن حل هذه المعادلة باستعمال معامل تكامل من الشكل:

${\displaystyle M(x)=\exp[(n-1)\int p(x)dx]\!}$

تمت مناقشة المعادلة لأول مرة في عام 1695 من قبل ياكوب برنولي، الذي سميت على اسمه.[1] ومع ذلك، تم تقديم الحل الأول من قبل غوتفريد لايبنتس، الذي نشر نتائجه في نفس العام وطريقته التي لا تزال تستخدم حتى اليوم.