موتر طاقة الوضع لتشاندراسخار

يُعرَّف موتر طاقة الوضع لتشاندراسخار كما الآتي:

${\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} }$

عندما يكون:

${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {x} )=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi _{ii}=\Phi =G\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d\mathbf {x'} }$

بحيث:

• يعبّر ${\displaystyle G}$ عن ثابت الجاذبية.
• يعبّر ${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )}$ عن جهد الجاذبية الذاتي من قانون نيوتن للجاذبية.
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ هو النسخة المعممة من ${\displaystyle \Phi }$.
• يعبّر ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ عن توزع كثافة المادة.
• يشير ${\displaystyle V}$ إلى حجم الجسم.

من الواضح أنّ ${\displaystyle W_{ij}}$ هو موتر مماثل من تعريفه، وأثر موتر تشاندراسخار ${\displaystyle W_{ij}}$ ما هو إلا الطاقة الكامنة ${\displaystyle W}$.

${\displaystyle W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}d\mathbf {x} }$

وبذلك يمكن النظر لموتر تشاندراسخار على أنه تعميم للطاقة الكامنة (طاقة الوضع).[4]

لنعتبر مادة ما كتلتها ${\displaystyle V}$ وكثافتها ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$، بذلك يكون:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} \\&=-{\frac {1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\\&=\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}}$

يُعرّف الجهد السلمي كما الآتي:[3]

${\displaystyle \chi (\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x'} }$

وقد برهن تشاندراسخار أنّ:ref>Chandrasekhar, Subrahmanyan. Ellipsoidal figures of equilibrium. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.</ref>

${\displaystyle W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

باعتبار ${\displaystyle i=j}$ فإننا نحصل على ${\displaystyle \nabla ^{2}\chi =-2W}$، وبالأخذ بمؤثر لابلاس مرة أخرى فإننا نحصل على ${\displaystyle \nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho }$.

• بوابة الفيزياء