ناقلية حرارية

لنأخذ مادة صلبة موضوعة بين وسطين ذوي درجتي حرارة مختلفتين. لتكن ${\displaystyle T_{1}}$ درجة الحرارة عند ${\displaystyle x=0}$ و ${\displaystyle T_{2}}$ درجة الحرارة عند ${\displaystyle x=L}$، ولنفترض أن ${\displaystyle T_{2}>T_{1}}$. من الممكن دراسة هذه الحالة في بناء في يوم بارد في الشتاء: تكون المادة الصلبة في هذه الحالة في جدار البناء، الذي يعزل الوسط الخارجي البارد من الوسط الداخلي الدافئ.

وفق القانون الثاني للديناميكا الحرارية فإن الحرارة ستتدفق من الوسط الساخن إلى البارد في محاولة لتعديل الفرق في درجات الحرارة. يعبر عن هذا عدديًّا بالتدفق الحراري ${\displaystyle q}$، والذي يعطي معدل تدفق الحرارة لوحدة المساحة باتجاه ما (في هذه الحالة هو الاتجاه x). في العديد من المواد يلاحَظ أن ${\displaystyle q}$ متناسب طردًا مع فرق درجات الحرارة وعكسًا مع العزل:[4]

${\displaystyle q=-k\cdot {\frac {T_{2}-T_{1}}{L}}.}$

ثابت التناسب ${\displaystyle k}$ هو الناقلية الحرارية؛ وهو خاصية فيزيائية للمادة. في الحالة المدروسة وبما أن ${\displaystyle T_{2}>T_{1}}$ فإن الحرارة تتدفق بالاتجاه السالب لمحور x و#${\displaystyle q}$ سالب، ما يعني بالتالي أن ${\displaystyle k>0}$. بشكل عام، تُعرف ${\displaystyle k}$ دومًا كمقدار موجب. يمكن أيضًا توسيع نفس تعريف ${\displaystyle k}$ ليشمل الغازات والسوائل، وذلك بشرط استبعاد الأشكال الأخرى من انتقال الطاقة كالحمل والإشعاع الحراريين.

للبساطة فقد افترضنا هنا بأن ${\displaystyle k}$ لا تتغير بشكل كبير مع تغير درجة الحرارة من ${\displaystyle T_{1}}$ إلى ${\displaystyle T_{2}}$. في الحالات التي لا يمكن فيها إهمال تغير ${\displaystyle k}$ مع درجة الحرارة يجب استخدام التعريف الأعم للناقلية الحرارية ${\displaystyle k}$ المشروح أدناه.

يُعرف توصيل الحرارة بأنه انتقال الطاقة نتيجة الحركة العشوائية للجزيئات وفق تدرج حراري. تتميز عن انتقال الطاقة بالحمل والعمل (الشغل) الجزيئي بأنها لا تتضمن تدفقات أو جريانات عيانية ولا إجهادات داخلية تؤدي عملًا.

يصنف تدفق الطاقة نتيجة التوصيل الحراري على أنه حرارة ويعبر عنه كميًّا بالشعاع ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$، والذي يعطي التدفق الحراري في الموضع ${\displaystyle \mathbf {r} }$ والزمن ${\displaystyle t}$ وفق القانون الثاني في الديناميكا الحرارية فإن الحرارة تتدفق من درجة الحرارة الأعلى إلى درجة الحرارة الأقل. وبالتالي فمن المنطقي افتراض أن الشعاع ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$ يتناسب طردًا مع حقل التدرج الحراري ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$ أي:

${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-k\nabla T(\mathbf {r} ,t),}$

حيث ثابت التناسب ${\displaystyle k>0}$ يعبر عن الناقلية الحرارية. يدعى هذا قانون فورييه للتوصيل الحراري. في الحقيقة، هو ليس قانونًا بل هو تعريف للناقلية الحرارية حسب الكميتين الفيزيائيتين المستقلتين ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$ و${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$.[5][6] لذلك فإن فائدته تعتمد على القدرة على تحديد ${\displaystyle k}$ لمادة معينة تحت شروط معينة. يعتمد الثابت ${\displaystyle k}$ نفسه عادةً على ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$ وبالتالي فإنه يعتمد ضمنيًّا على الزمان والمكان. يمكن أن يحدث اعتماد صريح على المكان والزمان أيضًا إذا كانت المادة غير متجانسة أو كانت تتغير مع الزمن.[7]

في بعض المواد الصلبة يكون التوصيل الحراري متباين الخواص، أي أن معدل تدفق الحرارة ليس دائمًا موازيًا لتدرج الحرارة. للتعويض عن هذا السلوك يجب استخدام تعبير موتري عن قانون فورييه:

${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla T(\mathbf {r} ,t)}$

حيث ${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$ موتر (مصفوفة شعاعية) من الرتبة الثانية يُدعى موتر الناقلية الحرارية.[8]

الوصف السابق يفترض ضمنًا وجود توازن حراري موضعي يسمح بتعريف حقل درجات حرارة ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$.

من الشائع في مجال الهندسة العمل باستخدام كميات مشتقة عن الناقلية الحرارية وتأخذ ضمنًا بعين الاعتبار مزايا خاصة بالتصميم كالأبعاد الخاصة بالعنصر.

على سبيل المثال، تُعرف الموصلية الحرارية بأنها كمية الحرارة التي تمر خلال وحدة الزمن عبر صفيحة ذات مساحة وسماكة محددتين عند اختلاف درجتي حرارة وجهيها المتقابلين بمقدار كلفن واحد. لأجل صفيحة ذات ناقلية حرارية ${\displaystyle k}$ ومساحة ${\displaystyle A}$ وسماكة ${\displaystyle L}$ تكون الموصلية الحرارية ${\displaystyle kA/L}$ مقاسةً بوحدة واط/كلفن.[9] العلاقة بين الموصلية الحرارية والناقلية الحرارية تحاكي العلاقة بين الموصلية الكهربائية والناقلية الكهربائية.

المقاومة الحرارية هي مقلوب الموصلية الحرارية.[9] من الملائم استخدام التصميم متعدد العناصر بما أن المقاومات الحراري جمعية عندما توصل على التسلسل.[10]

هناك أيضًا مقياس يعرف بمعامل انتقال الحرارة: كمية الحرارة التي تمر خلال وحدة الزمن عبر مساحة واحدية من صفيحة ذات سماكة محددة عندما تختلف درجتا حرارة وجهيها المتقابلين بمقدار كلفن واحد.[11] حسب الجمعية الأمريكية للاختبارات والمواد (إيه إس تي إم) سي168-15 فإن هذه الكمية غير المتعلقة بالمساحة يشار إليها باسم «الموصلية الحرارية».[12] مقلوب معامل انتقال الحرارة هو العازلية الحرارية. تلخيصًا، لأجل صفيحة ذات ناقلية حرارية${\displaystyle k}$، ومساحة ${\displaystyle A}$، وسماكة ${\displaystyle L}$، يكون لدينا:

• الموصلية الحرارية = ${\displaystyle kA/L}$، تقاس بالواط/كلفن..
  • المقاومة الحرارية = ${\displaystyle L/(kA)}$، تقاس بالكلفن/واط.
• معامل انتقال الحرارة = ${\displaystyle k/L}$، يقاس بالواط/(كلفن.م²).
  • العازلية الحرارية = ${\displaystyle L/k}$، تقاس بالكلفن.م²/واط.

يعرف معامل انتقال الحرارة باسم السماحية الحرارية بمعنى أن المادة يمكن اعتبارها تسمح للحرارة بالتدفق.

يعبر مصطلح إضافي، الانتقالية الحرارية، عن كمية الموصلية الحرارية لبنية بالإضافة إلى انتقال الحرارة بالحمل الحراري والإشعاع. تُقاس بنفس الوحدات المستخدمة للموصلية الحرارية وتعرف أحيانًا باسم الناقلية الحرارية المركبة. يستخدم أيضًا مصطلح (قيمة يو).

أخيرًا، تجمع الانتشارية الحرارية ${\displaystyle \alpha }$ بين الناقلية الحرارية والكثافة والحرارة النوعية:[13]

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}}$

فهي بالتالي تعبر كميًّا عن العطالة الحرارية للمادة، أي الصعوبة النسبية لتسخين مادة إلى درجة حرارة معينة باستخدام المصادر الحرارية المطبقة عند الحدود.[14]