نظرية الاستقرار

تقول مبرهنة ليابونوف الآتي:
إذا كان لدينا نظام نعبر عنه كالآتي
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{f}_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{1})\\{f}_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{2})\\\vdots \\{f}_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{n})\end{bmatrix}}}$
وإذا كان لهذا النظام في إطار حال مستتب (steady state) موضع سكون - نسميه ${\displaystyle \mathbf {{x}_{R}} }$ مثلا ً - فإن ّ موضع السكون هذا مستقر إذا أمكننا على إيجاد دالة تسمى دالة ليابونوف ؛ وهي دالة تتوفر فيها المواصفات التالية:

• ${\displaystyle {\mathcal {}}V(x_{1},...,x_{n})>{\underline {0}}}$ أي ما يعرف رياضيا ب تحدد موجب (positive definiteness) أي أن الدالة ${\displaystyle {\mathcal {}}V}$ لا تكون صفرا إلا عند النقطة صفر ${\displaystyle {\underline {0}}}$ (أو حال مستتب الذي يمكن بعملية خطية بسيطة المعروفة بعنوان الـ «اِنزلاق» (translation) ، أي نقل الدالة من نقطة ${\displaystyle {\mathcal {}}X_{r}}$ إلى نقطة صفر.) وفي ما عدا ذلك أكبر من الصفر.
• ${\displaystyle {\dot {V}}=(gradV(\mathbf {x} ))^{T}\cdot \mathbf {\dot {x}} <{\underline {0}}}$ أي أن تفاضل الدالة الرياضية يجب أن يكون سالبا في ما عدا النقطة صفر ${\displaystyle {\underline {0}}}$. أي أن تفاضل الدالة تتميز بخاصية التحدد السالب (negative definiteness) .

في حالة تمكنا من العثور على مثل هذه الدالة فإن النظام مستقر. ولنلاحظ هنا أن استعمال هذه الطريقة لا يقتصر على الأنظمة الخطية بل يمكن أيضا استعمالها في الأنظمة غير الخطية. كما يجدر بالذكر أنه في حالة عدم عثورنا على هذه الدالة فإنه لا يمكننا أن نجزم بأن النظام ${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =f(\mathbf {x} )}$ غير مستقر بل ما نستنتجه هو أن الدالة التي اخترناها لبرهنة الاستقرار لا تصلح لذلك ويجب علينا اختيار أخرى لهذا الغرض. أي أنه لا يمكننا بطريقة ليابونوف أن نبرهن على عدم استقرار نظام ما ولكن يمكننا أن نبرهن على استقراره.