نظرية المد والجزر

لنعتبر نقطة على سطح كوكب أو قمر وهذه النقطة تبعد عن مركز الثقل ${\displaystyle a}$ وتقع على خط عرض ${\displaystyle \varphi }$ وخط طول ${\displaystyle \lambda }$ وتعرف هذه النقطة وفق الإحداثيات الديكارتية ${\displaystyle \mathbf {p} =a\mathbf {x} }$ where

${\displaystyle \mathbf {x} =(\cos \lambda \cos \varphi ,\sin \lambda \cos \varphi ,\sin \varphi ).}$

ولتكن ${\displaystyle \delta }$ الانحراف الزاوي و${\displaystyle \alpha }$ المطلع المستقيم للجرم المتشوه فعندها يعطى شعاع الاتجاه

${\displaystyle \mathbf {x} _{m}=(\cos \alpha \cos \delta ,\sin \alpha \cos \delta ,\sin \delta ),}$

ولتكن ${\displaystyle r_{m}}$ المسافة بين مركزي الثقل و${\displaystyle M_{m}}$ كتلة الجرم فعندها تكون القوة في هذه النقطة

${\displaystyle \mathbf {F} _{a}={\frac {GM_{m}(r_{m}\mathbf {x} _{m}-a\mathbf {x} )}{R^{3}}}.}$

حيث ${\displaystyle R=\|r_{m}\mathbf {x} _{m}-a\mathbf {x} \|}$

من أجل مدار دائري يكون الزخم الزاوي math>\omega</math> فإن التسارع الجابذ يوازن الجاذبية في مركز الثقل

${\displaystyle Mr_{cm}\omega ^{2}={\frac {GMM_{m}}{r_{m}^{2}}}.}$

حيث ${\displaystyle r_{cm}}$ المسافة بين مركز ثقل الجسم التابع ومركز ثقل الجرم الأساسي و${\displaystyle M}$ كتلة الجرم. تعتبر هذا لنقطة ثابتة بدون دوران، ولنقل معادلة هذه النقطة إلى معادلة نقطة تدور فإن القوى الجابذة تؤثر على هذ النقطة لتصبح المعادلة

${\displaystyle \mathbf {F} _{p}={\frac {GM_{m}(r_{m}\mathbf {x} _{m}-a\mathbf {x} )}{R^{3}}}-r_{cm}\omega ^{2}\mathbf {x} _{m}.}$

وبالتعويض في تسارع مركز الثقل

وبإعادة الترتيب

${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=GM_{m}r_{m}\left({\frac {1}{R^{3}}}-{\frac {1}{r_{m}^{3}}}\right)\mathbf {x} _{m}-{\frac {(GM_{m}a\mathbf {x} )}{R^{3}}}.}$

في المحيطات تكون القوى القطرية غير كافية، فالخطوة التالية كتابة معامل ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ ولتكن ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a}{r_{m}}}}$ عندها

${\displaystyle R=r_{m}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}-2\varepsilon (\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} )}}}$

حيث math>(\mathbf{x}_m,\mathbf{x})= \cos z </math> هو محدد الناتج الداخلي للزاوية z للتشوه الجرم عند الذروة. وهذا يعني

${\displaystyle \left({\frac {1}{R^{3}}}-{\frac {1}{r_{m}^{3}}}\right)\approx {\frac {3\varepsilon \cos z}{r_{m}^{3}}},}$

و إذا كانت ε صغيرة، وأذا كانت النقطة على سطح الكوكب عندها الجاذبية المحلية

${\displaystyle g={\frac {GM}{a^{2}}}}$والمجموع

${\displaystyle \mu ={\frac {M_{m}}{M}}}$.

${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=3g\mu \varepsilon ^{3}\cos z\mathbf {x} _{m}-{\frac {(g\mu a^{3}\mathbf {x} )}{R^{3}}}+O(\varepsilon ^{4}),}$