قوانين دي مورغان

تستخدم قوانين دي مورجان في قواعد المنطق في وصف نتيجة عكس عمليتي الضرب المنطقي(و) and و الجمع المنطقي(أو) or

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

و عن طريق الإشارات

\neg (p\vee q)\iff (\neg p)\wedge (\neg q)

\neg (p\wedge q)\iff (\neg p)\vee (\neg q)

حيث أن:

$\neg$ علامة تعبر عن النفي المنطقي(لا)(NOT)
$\wedge$ علامة تعبر عن الضرب المنطقي (و)(AND)
$\vee$ علامة تعبر عن الجمع المنطقي(أو)(OR)
$\iff$ علامة fiuoio متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانيين الجبر البولييني

The intersection of A and B

الاتحاد والتقاطع يتبدلان تحت النفي.[1][2][3]

{\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}

{\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}.

حيث أن:

${\overline {A}}$ هي عكس A
$\cap$ تعبير يدل علي التقاطع(AND)
$\cup$ تعبير يدل علي الاتحاد(OR)

الإثبات الرياضي لنظرية دي مورجان

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ إذا وفقط إذا ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ و ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ .

$x\in {\overline {A\cap B}}$

$x\notin {A\cap B}$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\in {\overline {A}}$ أو $x\in {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

لذلك ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}$ أو $x\in {\overline {B}}$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\notin {A\cap B}$

$x\in {\overline {A\cap B}}$

لذلك ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ و ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ لذلك ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ يمكن إثباتها بنفس الطريقة.

مراجع

"معلومات عن قوانين دي مورغان على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 12 نوفمبر 2020.
"معلومات عن قوانين دي مورغان على موقع britannica.com"، britannica.com، مؤرشف من الأصل في 23 سبتمبر 2020.
"معلومات عن قوانين دي مورغان على موقع enciclopedia.cat"، enciclopedia.cat، مؤرشف من الأصل في 11 مايو 2021.

بوابة رياضيات
بوابة منطق

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] "معلومات عن قوانين دي مورغان على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 12 نوفمبر 2020.

[2] "معلومات عن قوانين دي مورغان على موقع britannica.com"، britannica.com، مؤرشف من الأصل في 23 سبتمبر 2020.

[3] "معلومات عن قوانين دي مورغان على موقع enciclopedia.cat"، enciclopedia.cat، مؤرشف من الأصل في 11 مايو 2021.

المنطق
مقالات رئيسية	العقل الفلسفي تاريخ المنطق منطق فلسفي منطق رياضي ما بعد المنطق فلسفة المنطق
مفاهيم مفتاحية	استنتاج قياس استقراء منطق لاشكلي افتراض استدلال حجة تفكير نقدي مغالطة منطق رياضي مجموعة نحو سيمانتيك صيغة جيدة الشكل مسلمة مبرهنة التماسك نظرية كاملة قابلية القرار نظام شكلي نظرية المجموعات نظرية البرهان نظرية النموذج نظرية العودية منطق الرتبة صفر دالة بوليانية حسبان القضايا جداول الحقيقة منطق الرتبة الأولى منطق الرتبة الثانية منطق طوري منطق إبستيمي منطق ظرفي أنواع منطقية لاكلاسيكية منطق الحسوبية منطق ضبابي منطق خطي
جدليات	مفارقة
شخصيات أساسية	أرسطو جورج بول جورج كانتور رودولف كارناب جوتلوب فريجه كورت غودل ديفيد هيلبرت جوزيبه بيانو شارل ساندرز پيرس هيلاري پوتنام بيرتراند راسل ألفريد تارسكي آلان تورنغ
قوائم	مواضيع أساسية منطقيون قواعد الاستدلال منطق رياضي رياضيات متقطعة نظرية المجموعات مفارقات رموز منطقية