نقطة متقابلة

في علم الرياضيات, يتوسع مفهوم النقاط المتقابلة ليشمل الكرات ذات أي بعد: فيُطلق على نقطتين موجودتين على سطح الكرة بأنهما نقطتان متقاطرتان إذا كانت إحداهما مواجهة للأخرى عبر مركز الكرة; فعلى سبيل المثال، فلنعتبر أن النقطة التي تتوسط الكرة هي المركز، بالتالي تشير النقاط المتقابلة إلى النقاط التي تمر عبرها المتجهات ذات الصلة v وv-. على سطح الدائرة, يُطلق على مثل هذه النقاط كذلك النقاط المتواجدة على الجهة المقابلة من القطر. وبعبارة أخرى، كل خط يمر عبر المركز يقطع الكرة إلى نقطتين، تمثل كل نقطة من النقطتين شعاع يخرج من المركز، وبهذا يُطلق على هاتين النقطتين نقطتان متقابلتان.

تعتبر مبرهنة بورسوك - أولام إحدى نتائج الطوبولوجيا الجبرية التي تتناول مثل هذه الأزواج من النقاط. وتنص هذه المبرهنة على أنه في أي دالة مستمرة من الكرة Sⁿ إلى الكرة Rⁿ يتم رسم بعض الأزواج من النقاط المتقابلة في الكرة Sⁿ إلى نفس موقع النقطة في الكرة Rⁿ. وهنا يشير, Sⁿ إلى كرة ذات بعد n-موجودة في الفضاء ذي البعد (n+1)-(وبالتالي يتم الرمز إلى الكرة «العادية» بـ S² ويتم الرمز إلى الدائرة بـ S¹).

وترسل الخريطة المتقابلة A : Sⁿ → Sⁿ, التي يتم تحديدها بواسطة A(x) = -x, كل نقطة موجودة على الكرة إلى النقطة المتقابلة التي تمثلها. يتم إطلاق صفة مثلية التوضع على الخريطة المحايدة إذا كانت n رقمًا فرديًا، وكانت الدرجة تساوي (-1)ⁿ⁺¹.

إذا أراد شخص ما دراسة النقاط المتقابلة على النحو المحدد، فيلزم أن يتعرض كذلك للفضاء الإسقاطي (انظر أيضًا فضاء هيلبرت الإسقاطي، حيث ستجد هذه الفكرة مطبقة في ميكانيكا الكم).

يرمز زوج النقاط المتقابلة لمضلع محدب إلى زوج يتكون من نقطتين يمر من خلالهما خطان متوازيان لا نهائيان ويعمل هذان الخطان كممسات لكلتا النقطتين المتقابلتين دون قطع أي خط آخر للمضلع المحدب.

• متناظر جغرافيا

• تحوي هذه المقالة معلومات مترجمة من الطبعة الحادية عشرة لدائرة المعارف البريطانية لسنة 1911 وهي الآن ضمن الملكية العامة.

• بوابة رياضيات