هلال أبقراط

في الهندسة الرياضية، هلال أبقراط (بالإنجليزية: Lune of Hippocrates)‏ هو هلال محدود بقوسين لدائرتين، أصغرها قطره هو عبارة عن وتر مولد لزاوية قائمة على الدائرة الكبيرة. وبالمثل، فهي منطقة مستوية غير محدبة يحدها قوس دائري قياسه 180 درجة وقوس دائري قياسه 90 درجة. كان هذا أول شكل منحني حُسِب مساحته بدقة رياضيًا. سمي هذا الهلال هكذا نسبة إلى أبقراط الخيوسي.[1]

هلال أبقراط هو المساحة الملونة أعلاه الواقعة في أقصى يسار الشكل. للهلال نفس مساحة مثلث قائم الزاوية، الملون في أسفل الشكل.

التاريخ

البرهان

يمكن إثبات نتيجة أبقراط على النحو التالي: مركز الدائرة التي يقع عليها القوس AEB هو النقطة D، وهي منتصف وتر المثلث القائم ومتساوي الساقين ABO. لذلك، يبلغ قطر AC للدائرة الكبرى ABC √2 مرة قطر الدائرة الصغيرة التي يقع عليها القوس AEB. وبالتالي، فإن الدائرة الصغيرة لها نصف مساحة الدائرة الكبرى، وبالتالي فإن ربع الدائرة AFBOA يساوي مساحة نصف الدائرة AEBDA. إن طرح مساحة شبه الهلال AFBDA من ربع الدائرة يعطي المثلث ABO وطرح نفس شبه الهلال من نصف الدائرة يعطي الهلال. بما أن المثلث والهلال يتشكلان بطرح مساحات متساوية من مساحة متساوية، فإنهما متساويان في المساحة.[2][3]

تعميمات
هلِالا الحسنِ ابنِ الهيثم: مجموع مساحة الهلالين (بالأزرق) مُساوٍ لمساحة المثلث الأخضر.

باستخدام برهان مماثل لما سبق، أظهر عالم الرياضيات العربي المسلم الحسن ابن الهيثم أن الهلالين، التي تشكلّت على ضلعي المثلث القائم، والتي حدودها الخارجية هي عبارة عن أنصاف الدوائر والتي تتشكل حدودها الداخلية من الدائرة المحيطة بالمثلث، عندها تكون مساحة هذين الهلالين معًا مساوية لمساحة المثلث. يعرف الهلالان المشَكَلَّان بهذه الطريقة من المثلث القائم باسم هلالي ابن الهيثم.[4][5] حساب مساحة هلال أبقراط هو الحالة الخاصة لهذه النتيجة بالنسبة للمثلث القائم ومتساوي الساقين.[6]

مراجع
  1. Postnikov, M. M. (2000)، "The problem of squarable lunes"، American Mathematical Monthly، 107 (7): 645–651، doi:10.2307/2589121، JSTOR 2589121. Translated from Postnikov's 1963 Russian book on Galois theory.
  2. Heath, Thomas L. (2003)، A Manual of Greek Mathematics، Courier Dover Publications، ص. 121–132، ISBN 0-486-43231-9، مؤرشف من الأصل في 21 يونيو 2020.
  3. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik؛ Jones, Phillip S.؛ Bedient, Jack D. (1988)، "4-2 Hippocrates of Chios and the quadrature of lunes"، The Historical Roots of Elementary Mathematics، Courier Dover Publications، ص. 90–91، ISBN 0-486-25563-8، مؤرشف من الأصل في 11 ديسمبر 2017.
  4. Hippocrates' Squaring of the Lune at cut-the-knot, accessed 2012-01-12. نسخة محفوظة 2020-02-20 على موقع واي باك مشين.
  5. Alsina, Claudi؛ Nelsen, Roger B. (2010)، "9.1 Squarable lunes"، Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics، Dolciani mathematical expositions، Mathematical Association of America، ج. 42، ص. 137–144، ISBN 978-0-88385-348-1، مؤرشف من الأصل في 13 نوفمبر 2018.
  6. Anglin, W. S. (1994)، "Hippocrates and the Lunes"، Mathematics, a Concise History and Philosophy، Springer، ص. 51–53، ISBN 0-387-94280-7، مؤرشف من الأصل في 07 أبريل 2017.
  • بوابة هندسة رياضية
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.