Álgebra mediana

En matemática, un álgebra mediana es un conjunto con un operador ternario < x,y,z > que satisface los siguientes axiomas, los cuales generalizan la noción de mediana o función mayorante, como una función booleana:

1. absorción por la derecha: ${\displaystyle \langle u,v,v\rangle =v}$
2. simetría por la derecha: ${\displaystyle \langle u,v,w\rangle =\langle u,w,v\rangle }$
3. simetría por la izquierda: ${\displaystyle \langle u,v,w\rangle =\langle v,u,w\rangle }$
4. transitividad: ${\displaystyle \langle u,v,\langle u,w,x\rangle \rangle =\langle u,\langle u,v,w\rangle ,x\rangle }$

El segundo y tercer axioma implican conmutatividad. Es posible (pero no sencillo) demostrar que en presencia de los otros tres, el tercer axioma es redundante. El cuarto axioma implica asociatividad.[1]

Existen otros posibles sistemas axiomáticos, como por ejemplo los siguientes dos axiomas, que también son suficientes:

• ${\displaystyle \langle u,v,v\rangle =v}$
• ${\displaystyle \langle u,v,\langle u,w,x\rangle \rangle =\langle u,x,\langle w,u,v\rangle \rangle }$

En un álgebra de Boole, o más general en un retículo distributivo, la función mediana ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle =(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x)}$ satisface estos axiomas. Por lo tanto, cada álgebra de Boole y cada retículo distributivo forman un álgebra mediana.[2]

Birkhoff y Kiss demostraron que un álgebra mediana con elementos ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle 1}$ que satisfacen ${\displaystyle \langle 0,x,1\rangle =x}$ es un retículo distributivo.[3]