Ángulo inscrito

Una cuerda es el diámetro

Sea ${\displaystyle O}$ el centro de una circunferencia. Además, consideremos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle V}$ dos puntos en la circunferencia, y ${\displaystyle B}$ el otro extremo de la cuerda que pasa por ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle O}$. ${\displaystyle \beta }$ es la amplitud del arco comprendido entre las secantes ${\displaystyle {\bar {VA}}}$ y ${\displaystyle {\bar {VB}}}$, y ${\displaystyle \alpha }$ su ángulo inscrito.

El ángulo central ${\displaystyle \angle AOB}$, también tiene amplitud ${\displaystyle \beta }$ y es suplementario de ${\displaystyle \angle AOV}$. Por lo tanto ${\displaystyle \beta +\angle AOV=180}$°.

Como el triángulo ${\displaystyle \triangle AOV}$ tiene dos lados con longitud igual al radio (${\displaystyle {\bar {AO}}}$ y ${\displaystyle {\bar {VO}}}$), es isósceles y, por lo tanto ${\displaystyle \angle OAV=\alpha }$. Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que ${\displaystyle 2\alpha +\angle AOV=180}$, pero ${\displaystyle \angle AOV=180-\beta }$, así que ${\displaystyle 2\alpha +180-\beta =180}$, o lo que es equivalente, ${\displaystyle 2\alpha =\beta }$.

Por lo tanto, el ángulo inscrito ${\displaystyle \alpha }$ tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}}$.

Centro del círculo dentro del ángulo

Sea ${\displaystyle O}$ el centro de una circunferencia. Consideremos tres puntos ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ en la circunferencia. Dibujamos las cuerdas ${\displaystyle {\bar {VB}}}$ y ${\displaystyle {\bar {VA}}}$. El ángulo ${\displaystyle \angle AVB}$ es un ángulo inscrito. Dibujamos el segmento ${\displaystyle {\bar {VO}}}$ y lo alargamos hasta que interseque la circunferencia en el punto ${\displaystyle C}$. El ángulo ${\displaystyle \angle AVB}$ subtiende el arco ${\displaystyle AB}$.

Supongamos que el centro de la circunferencia ${\displaystyle O}$ está dentro del ángulo ${\displaystyle \angle AVB}$. Por lo tanto el arco ${\displaystyle AB}$ incluye el punto ${\displaystyle C}$, ya que ${\displaystyle C}$ es el punto diamentralmente opuesto a ${\displaystyle V}$. Los ángulos ${\displaystyle \angle AVC}$ y ${\displaystyle \angle CVB}$ también son ángulos inscritos, pero cada uno de estos ángulos tiene un lado que pasa por el centro y, por lo tanto, podemos aplicar la conclusión del apartado anterior a ambos.

Entonces,

${\displaystyle \angle AVB=\angle AVC+\angle CVB}$

Definimos entonces ${\displaystyle \alpha =\angle AVB}$, ${\displaystyle \alpha _{1}=\angle AVC}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}=\angle CVB}$, de manera que

${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}}$. (1)

Dibujamos los segmentos ${\displaystyle {\bar {OA}}}$ y ${\displaystyle {\bar {OB}}}$. El ángulo ${\displaystyle \angle AOB}$ es un ángulo central, como también lo son los ángulos ${\displaystyle \angle AOC}$ y ${\displaystyle \angle COB}$. Entre estos tres ángulos tenemos la relación

${\displaystyle \angle AOB=\angle AOC+\angle COB}$

Definimos ${\displaystyle \beta =\angle AOB}$, ${\displaystyle \beta _{1}=\angle AOC}$ y ${\displaystyle \beta _{2}=\angle COB}$, de manera que

${\displaystyle \beta =\beta _{1}+\beta _{2}}$. (2)

Por la demostración cuando una cuerda es el diámetro tenemos que ${\displaystyle \beta _{1}=2\alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \beta _{2}=2\alpha _{2}}$. Combinando estos resultados con la ecuación (2) tenemos que

${\displaystyle \beta =2\alpha _{1}+2\alpha _{2}=2(\alpha _{1}+\alpha _{2})}$.

Y, por la ecuación (1), obtenemos que

${\displaystyle \beta =2\alpha }$

y, por lo tanto,

${\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}}$.

Centro del círculo fuera del ángulo

Sea ${\displaystyle O}$ el centro de una circunferencia. Consideremos tres puntos ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ en la circunferencia. Dibujamos las cuerdas ${\displaystyle {\bar {VB}}}$ y ${\displaystyle {\bar {VA}}}$. El ángulo ${\displaystyle \angle AVB}$ es un ángulo inscrito. Dibujamos el segmento ${\displaystyle {\bar {VO}}}$ y lo alargamos hasta que interseque la circunferencia en el punto ${\displaystyle C}$. El ángulo ${\displaystyle \angle AVB}$ subtiende el arco ${\displaystyle AB}$.

Supongamos que el centro de la circunferencia ${\displaystyle O}$ está fuera del ángulo ${\displaystyle \angle AVB}$. Por lo tanto el arco ${\displaystyle AB}$ no incluye el punto ${\displaystyle C}$, ya que ${\displaystyle C}$ es el punto diamentralmente opuesto a ${\displaystyle V}$. Los ángulos ${\displaystyle \angle AVC}$ y ${\displaystyle \angle CVB}$ también son ángulos inscritos, pero cada uno de estos ángulos tiene un lado que pasa por el centro y, por lo tanto, podemos aplicar la conclusión del primer apartado a ambos.

Entonces,

${\displaystyle \angle AVB=\angle CVB-\angle AVC}$

Definimos entonces ${\displaystyle \alpha =\angle AVB}$, ${\displaystyle \alpha _{1}=\angle CVB}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}=\angle AVC}$ tal que

${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}-\alpha _{2}}$. (3)

Dibujamos los segmentos ${\displaystyle {\bar {OA}}}$ y ${\displaystyle {\bar {OB}}}$. El ángulo ${\displaystyle \angle AOB}$ es un ángulo central, como también lo son los ángulos ${\displaystyle \angle AOC}$ y ${\displaystyle \angle COB}$. Entre estos tres ángulos tenemos la relación

${\displaystyle \angle AOB=\angle COB-\angle AOC}$.

Definimos ${\displaystyle \beta =\angle AOB}$, ${\displaystyle \beta _{1}=\angle COB}$ y ${\displaystyle \beta _{2}=\angle AOC}$, de manera que

${\displaystyle \beta =\beta _{1}-\beta _{2}}$. (4)

Por la demostración cuando una cuerda es el diámetro tenemos que ${\displaystyle \beta _{1}=2\alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \beta _{2}=2\alpha _{2}}$. Combinando estos resultados con la ecuación (4) tenemos que

${\displaystyle \beta =2\alpha _{1}-2\alpha _{2}=2(\alpha _{1}-\alpha _{2})}$.

Y, por la ecuación (3), obtenemos que

${\displaystyle \beta =2\alpha }$

y, por lo tanto,

${\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}}$.