Conjunto vacío

Símbolo del conjunto vacío

El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos.

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

${\displaystyle \varnothing \,{\acute {\text{o}}}\;\emptyset \,}$

derivados de la letra Ø de las lenguas danesa y noruega, entre otras. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939.[1] Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre llaves:

${\displaystyle \{\}\,}$

El conjunto vacío ${\displaystyle \emptyset \ }$ es el conjunto de todos los elementos ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle x\neq x}$

Expresión analítica : Sea el conjunto en el espacio vectorial R ${\displaystyle S=\{x\in \mathbf {Z} :x^{2}-x-2=0\}.}$. Entonces ${\displaystyle S=\varnothing }$[2]

Es necesario y legítimo hablar de «el conjunto vacío» y no de «un conjunto vacío». El conjunto vacío posee ciertas propiedades:

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir «todo hombre en ∅ es inmortal» es lo mismo que afirmar que «no hay ningún hombre mortal en ∅», y esto último es trivialmente cierto. Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el que contiene sólo al mismo conjunto vacío, es decir, { ∅ }. Por lo tanto, el número cardinal de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}$ es ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(\varnothing )|=1}$.

• La intersección de un conjunto y su complementario es el conjunto vacío. En símbolos: ${\displaystyle A\cap A^{c}=\varnothing }$.
• El conjunto ${\displaystyle \varnothing }$ es abierto y cerrado.
• La diferencia de cualquier conjunto consigo mismo es el conjunto vacío. ${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$.
• En la diferencia simétrica definida en un conjunto potencia , el conjunto vacío es el elemento neutro, esto es, ${\displaystyle A\ \Delta \varnothing =A}$.
• En una partición de un conjunto inducida por una relación de equivalencia, la intersección de dos clases distintas es el conjunto vacío. ${\displaystyle k\neq l\Rightarrow A_{k}\cap A_{l}=\varnothing }$.
• El conjunto vacío es elemento del conjunto potencia de cualquier conjunto, necesariamente. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}(A)}$[3].
• La unión de una familia vacía de conjuntos es el conjunto vacío.
• La intersección de una familia vacía de conjuntos es el conjunto vacío.
• ${\displaystyle \varnothing }$ figura como elemento propio de toda topología sobre X. Notación: ${\displaystyle \varnothing \in T(X)}$. Y es cerrado, a la vez que abierto en cualquier topología.[4]
• La intersección del interior del conjunto A con el interior de su complementario es ${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }=\varnothing }$ donde ${\displaystyle B=X\setminus A}$.
• La intersección del interior con su frontera es ${\displaystyle A^{\circ }\cap \partial A=\varnothing }$.
• El conjunto ${\displaystyle A=\{x/x\in {\mathcal {R}}\}}$ tal que ${\displaystyle |x|<0}$ es igual a ${\displaystyle \varnothing }$[5].
• En cálculo de probabilidades el conjunto vacío representa el suceso imposible y P(∅) = 0[6].

• Álgebra de conjuntos
• Conjunto
• Teoría de conjuntos
• Suma vacía
• Producto vacío

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.