Análisis de la varianza

El análisis de la varianza parte del concepto de regresión lineal, cuya funcionalidad amplía. Así, un análisis de la varianza permite determinar, por ejemplo, si diferentes tratamientos médicos (es decir, un grupo de más de dos tratamientos) muestran diferencias significativas en sus resultados o si por el contrario puede suponerse que sus medias poblacionales no difieren. De este modo el análisis de la varianza permite superar las limitaciones de hacer contrastes bilaterales por parejas entre todos los tratamientos posibles, lo que sería un mal método para determinar si un conjunto de variables con n > 2 difieren entre sí. El primer concepto fundamental es suponer que todo valor observado puede expresarse mediante la siguiente función:

${\displaystyle y_{ij}=\mu +\tau _{i}+\epsilon _{ij}}$

Donde:

${\displaystyle y_{ij}}$ sería el valor observado (variable dependiente) [valor j-ésimo del tratamiento i-ésimo], y ${\displaystyle \tau _{i}}$ es el efecto del tratamiento i.

${\displaystyle \mu }$ sería una constante que en la recta de regresión equivale a la ordenada en el origen,

${\displaystyle \tau _{i}}$ es una variable que varía de tratamiento a tratamiento.

${\displaystyle \epsilon _{ij}}$ es una variable aleatoria que añade a la función cierto error que desvía la puntuación observada de la puntuación pronosticada.

Por tanto, a la función de pronóstico la podemos llamar "media del tratamiento i":

${\displaystyle y_{i}=\mu +\tau _{i}}$

Podemos resumir que las puntuaciones observadas equivalen a las puntuaciones esperadas, más el error aleatorio (${\displaystyle y_{ij}=y_{i}+e_{ij}}$). A partir de esa idea, se puede operar:

1. Restamos a ambos lados de la ecuación (para mantener la igualdad) la media de la variable dependiente:

${\displaystyle y_{ij}-{\overline {y}}=y_{i}+e_{ij}-{\overline {y}}}$

1. Operando se llega finalmente a que:

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}(y_{ij}-{\overline {y}})^{2}=n\sum _{i}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}+\sum _{i}\sum _{j}(y_{ij}-y_{i})^{2}}$

Esta ecuación se reescribe frecuentemente como:

${\displaystyle SS_{total}=SS_{fact}+SS_{error}\,}$

de un factor, que es el caso más sencillo, la idea básica del análisis de la varianza es comparar la variación total de un conjunto de muestras y descomponerla como:

${\displaystyle SS_{total}=SS_{fact}+SS_{int}\,}$

Donde:

${\displaystyle SS_{fact}\,}$ es un número real relacionado con la varianza, que mide la variación debida al "factor", "tratamiento" o tipo de situación estudiado.

${\displaystyle SS_{int}\,}$ es un número real relacionado con la varianza, que mide la variación dentro de cada "factor", "tratamiento" o tipo de situación.

En el caso de que la diferencia debida al factor o tratamiento no sea estadísticamente significativa puede probarse que las varianzas muestrales son iguales:

${\displaystyle {\hat {s}}_{fact}={\frac {SS_{fact}}{a-1}},\qquad {\hat {s}}_{int}={\frac {SS_{int}}{a(b-1)}}}$

Donde:

${\displaystyle a\,}$ es el número de situaciones diferentes o valores del factor se están comparando.

${\displaystyle b\,}$ es el número de mediciones en cada situación se hacen o número de valores disponibles para cada valor del factor.

Así lo que un simple test a partir de la F de Snedecor puede decidir si el factor o tratamiento es estadísticamente significativo.

Los grados de libertad pueden descomponerse al igual que la suma de cuadrados. Así, GLtotal = GLentre + GLdentro. Los GLentre se calculan como: a - 1, donde a es el número de tratamientos o niveles del factor. Los GLdentro se calculan como N - a, donde N es el número total de observaciones o valores de la variable medida (la variable respuesta).

El análisis de varianza lleva a la realización de pruebas de significación estadística, usando la denominada distribución F de Snedecor.

Una vez que se han calculado las sumas de cuadrados, las medias cuadráticas, los grados de libertad y la F, se procede a elaborar una tabla que reúna la información, denominada "Tabla de Análisis de varianza o ANOVA", que adopta la siguiente forma:

Fuente de variación	Suma de cuadrados	Grados de libertad	Cuadrado medio	F
Intergrupo	${\displaystyle SS_{\hbox{Factores}}}$	t - 1	${\displaystyle T={\frac {SS_{\hbox{Factores}}}{t-1}}}$	${\displaystyle F={\frac {T}{E}}}$
Intragrupo o Error	${\displaystyle SS_{\hbox{Error}}}$	N - t	${\displaystyle E={\frac {SS_{\hbox{Error}}}{N-t}}}$
Total	${\displaystyle SS_{\hbox{Total}}}$	N - 1

• M.R. Spiegel; J. Schiller; R. A. Srinivasan (2007). «9. Análisis de la varianza». Probabilidad y Estadística [Schaum's Outline of Theory and Problems of Probability and Statistics]. Schaum (2ª edición). México D.F.: McGraw-Hill. pp. 335-371. ISBN 978-970-10-4231-1. |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
• F. J. Tejedor Tejedor (1999). Análisis de varianza. Schaum. Madrid: La Muralla S.A. ISBN 84-7635-388-X.