Aguja de Buffon

El planteamiento matemático de este problema es:

Sea una aguja de longitud ${\displaystyle \ell }$ lanzada sobre un plano segmentado por líneas paralelas separadas ${\displaystyle t\,}$ unidades (ver imagen). ¿Cuál es la probabilidad que la aguja cruce alguna línea?

Sea ${\displaystyle x}$ la distancia entre el centro de la aguja y la línea más cercana, ${\displaystyle x\in [0,t/2]}$, y sea ${\displaystyle \theta }$ el ángulo entre la aguja y las líneas, ${\displaystyle \theta \in [0,\pi /2]}$. También es importante hacer ver que esta solución es para el caso cuando ${\displaystyle t\geq \ell }$ (las agujas miden menos que la distancia entre las líneas).

La variable aleatoria ${\displaystyle x}$ se distribuye uniformemente (de forma continua) entre el 0 y ${\displaystyle t/2}$, por lo que su función de densidad de probabilidad es:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {2}{t}}\,dx.}$

Por su parte, la variable aleatoria ${\displaystyle \theta }$, al igual que ${\displaystyle x}$ se distribuye uniformemente entre 0 y ${\displaystyle \pi /2}$, por lo que su función de densidad de probabilidad es:

${\displaystyle f_{\Theta }(\theta )={\frac {2}{\pi }}\,d\theta .}$

Al ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle \theta }$ ser variables aleatorias independientes, la función conjunta de densidad es simplemente el producto de ambas:

${\displaystyle f_{X,\Theta }(x,\theta )={\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta .}$

La condición para que una aguja cruce una línea es:

${\displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\,\sin \theta .}$

Ahora se busca la función de probabilidad de este problema, la cual se obtiene integrando para ambas variables la función de densidad, lo cual es:

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}.}$

Si se lanzan ${\displaystyle n}$ agujas y ${\displaystyle h}$ cruzan alguna línea, se tiene que:

${\displaystyle {\frac {h}{n}}\approx {\frac {2\ell }{t\pi }}.}$

De donde despejando ${\displaystyle \pi }$, tenemos:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{ht}}.}$