Aleatoriedad

En teoría de la probabilidad, un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. Un punto clave de la teoría de la probabilidad es que los resultados de un fenómeno aleatorio tiene una distribución de probabilidad bien definida.

El lanzamiento de un dado real se aproxima mucho a buen ejemplo de experimento aleatorio. El resultado de dicho lanzamiento se contrapone al de un fenómeno determinista previsible, donde es posible conocer todos los factores condicionantes de un experimento, prediciendo con bastante exactitud el resultado del mismo. Si bien el lanzamiento de un dado es proceso físico determinista, en condiciones prácticas es difícil observar los factores condicionantes o incluso calcular la trayectoria real porque es altamente caótica.

Esto contrasta típicamente con un experimento determinista, previsible y no caótico. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un móvil, es posible saber exactamente el tiempo que tardará en llegar al suelo en condiciones de vacío. Sin embargo, una colección de eventos estadísticos puede ser tratada como un fenómeno determinista en estadística. Por ejemplo, lanzando un dado de seis caras seiscientas veces, el resultado para cada una de las caras del mismo será aproximadamente cien.

En el mundo físico macroscópico la aleatoriedad se debe fundamentalmente a la existencia de sistemas físicos con evolución temporal caótica. La teoría del caos se ocupa de caracterizar muchos de dichos sistemas caóticos. En ellos, si bien los mecanismos físicos pueden ser incluso deterministas, pequeñas variaciones de los factores condicionantes conducen a resultados muy diferentes. Esa propiedad se llama «dependencia sensible de las condiciones iniciales» y es una característica básica de muchos sistemas llamados «caóticos».

A nivel microscópico muchos científicos postulan que existe un tipo de aleatoridad cualitativamente diferente, la asociada a los procesos de la mecánica cuántica. Si bien se han postulado modelos cuánticos deterministas, esencialmente mediante el establecimiento de teoría de variables ocultas, en la actualidad muchos físicos cuánticos aceptan interpretaciones como la interpretación de Copenhague o la interpretación del colapso objetivo que indican que en un nivel muy fundamental, la evolución temporal de los sistemas cuánticos sí presenta elementos de aleatoriedad. Sin embargo, esto sigue siendo discutido y parece que interpretaciones deterministas como la interpretación del Multiverso han ganado muchos adherentes entre los físicos cuánticos en las últimas décadas.

Durante el siglo XX surgieron nuevas ideas para modelizar la aleatoriedad que surge entre datos tomados del mundo real y dentro de las propias matemáticas. La complejidad de Kolmogórov engloba varios enfoques relacionados con las estructuras matemáticas y los conjuntos de datos, que inevitablemente han conducido a preguntas filosóficas profundas sobre la existencia de fenómenos aleatorios o la constructividad de objetos. El trabajo de Gregory Chaitin, por ejemplo, relaciona la aleatoriedad de números reales o el problema de la parada de Turing con la irreductibilidad o incompresibilidad algorítimica (ver constante de Chaitin).

Algunos discuten que la aleatoriedad no debe confundirse con la impredecibilidad práctica, la cual es una idea que está relacionada con el uso ordinario. Algunos sistemas matemáticos, por ejemplo, pueden verse como aleatorios; sin embargo son de hecho impredecibles. Esto se debe a una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Muchos fenómenos aleatorios pueden exhibir características organizadas a algunos niveles. Por ejemplo, mientras la media porcentual del incremento de la población humana es bastante predecible, en términos sencillos, el intervalo real de los nacimientos y muertes individuales no se pueden predecir. Esta aleatoriedad a pequeña escala se encuentra en casi todos los sistemas del mundo real. La ley de Ohm y la teoría cinética de los gases son estadísticamente descripciones reales de cálculos (por ejemplo, el resultado neto o la integración) de vastas cantidades de números de eventos individuales atómicos, cada uno de los cuales son aleatorios, y ninguno de ellos son individualmente predecibles.

Los sistemas caóticos son impredecibles en la práctica debido a su extrema dependencia de las condiciones iniciales. Si son o no impredecibles en términos de la teoría de la computabilidad es objeto de actuales investigaciones. Al menos en algunas disciplinas la teoría de la computabilidad, la noción de la aleatoriedad termina siendo identificada con impredecibilidad computacional.

Se requiere la impredecibilidad en algunas aplicaciones, tales como los múltiples usos de los números aleatorios en la criptografía. En otras aplicaciones, como el modelado o la simulación, la aleatoriedad estadística es esencial, pero la predictibilidad también sirve de ayuda (por ejemplo, cuando se ejecutan repetidamente simulaciones o pruebas de reconocimiento, puede ser muy útil poder volver a ejecutar el modelo con la entrada aleatoria exacta numerosas veces).

Lidiar sensiblemente con la aleatoriedad es un problema duro para la ciencia moderna, las matemáticas, la psicología y la filosofía. Meramente definirlo adecuadamente para los propósitos de una disciplina es dificultoso. Distinguiendo entre aparente aleatoriedad y la verdadera no ha sido más sencillo. En adición, asegurar imprevisibilidad, especialmente contra una grupo bien motivado, ha sido más difícil aún.

Algunos filósofos han discutido que no hay aleatoriedad en el universo, solo imprevisibilidad. Otros encuentran la distinción sin sentido (ver determinismo para más información).

Algunos teólogos han intentado resolver la aparente contradicción entre la deidad omnisciente y el libre albedrío usando la aleatoriedad, arguyendo que si la deidad omnisciente conoce pasado, presente y futuro, las personas no tendrían una libertad total, puesto que realmente todo su futuro —que incluye las decisiones humanas libres— estaría ya predestinado y sabido, y esto contradiría una propiedad del libre albedrío que implica que una acción humana libre debe poder realizarse de un modo, o de su contrario, sin poder predecirse. Por tanto, para un libre albedrío han intentado usar de la aleatoriedad en los principios intrínsecos de la acción humana libre. Los discordianistas tienen una fuerte creencia en la aleatoriedad, el caos y en la impredecibilidad.

En su libro Un nuevo tipo de ciencia, Stephen Wolfram describe tres mecanismos responsables de, aparentemente, la conducta aleatoria en los sistemas:

1. Aleatoriedad viniendo del entorno (por ejemplo, movimiento browniano, pero también hardware generador de números aleatorios).
2. Aleatoriedad viniendo de las condiciones iniciales. Este aspecto es estudiado por la Teoría del Caos, y es observado en sistemas cuyo comportamiento es muy sensitivo a pequeñas variaciones en dicha condiciones iniciales (tales como las máquinas de pachinko, dados...).
3. Aleatoriedad intrínsecamente generada por el sistema. Esta es también llamada secuencia pseudoaleatoria, y es el tipo usado en los generadores de números pseudoaleatorios. Hay muchos algoritmos —basados en aritmética o autómatas celulares— para generar números pseudoaleatorios. El comportamiento del sistema puede ser determinado sabiendo el estado de la semilla y el algoritmo usado. Este método es más rápido que obtener «verdadera» aleatoriedad del entorno.

Secuencia 2D Pseudoaleatoria

Las muchas aplicaciones de la aleatoriedad han llevado a muchos métodos diferentes para generar datos aleatorios. Estos métodos pueden variar dependiendo de cuán impredecible o estadísticamente aleatorios son, y cuán rápido pueden generar números aleatorios.

Antes del avance de los generadores computacionales de números aleatorios, generar grandes cantidades de números suficientemente aleatorios —importante en estadística— requería mucho trabajo. Los resultados podían ser algunas veces colectados y distribuidos como tablas de números aleatorios.

• Entropía (información)
• Teoría de probabilidad
• Secuencia pseudoaleatoria
• Número aleatorio
• Variable aleatoria
• Proceso estocástico

Este argumento dice que ya que todos los números finalmente saldrán en una selección aleatoria, aquellos que todavía no hayan salido están «debidos» y es más probable que salgan pronto. Esta lógica es solo correcta si es aplicada a un sistema donde los números que salen son eliminados del sistema, así como cuando se barajan las cartas sin volver a ponerse en el mazo. Es verdad, por ejemplo, que una vez que una sota es eliminada de la baraja, la próxima carta es menos probable que sea una sota y más probable que sea otra. Sin embargo, si la sota es devuelta al mazo, y este es barajado de nuevo, hay una oportunidad igual de sacar una sota o cualquier otra carta la próxima vez. La misma verdad se aplica a cualquier otro caso donde los objetos son seleccionados independientemente y nada es retirado del sistema luego de cada evento, así como una tirada de dado, de moneda o la mayoría de las loterías.

Este argumento es prácticamente el inverso del anterior, y dice que los números que han salido de forma menos seguida en el pasado, continuarán viniendo con igual frecuencia en el futuro. Un argumento similar, «un número está bendito», puede estar diciendo que los números que han salido con mayor frecuencia en el pasado, lo harán en el futuro. Esta lógica es solo válida si la tirada es de alguna manera parcial y los resultados no tienen igual probabilidades —por ejemplo, con un dado pesado—. Si sabemos con seguridad que la tirada es justa, entonces eventos previos no tienen influencia en eventos futuros.

Nótese que en la naturaleza, eventos inesperados o inciertos raramente ocurren con frecuencias perfectamente iguales. De esta manera, el aprender qué eventos es posible que tengan probabilidades más altas observando los resultados, tiene sentido. Lo que es falaz es aplicar esta lógica a sistemas que son especialmente diseñados para que todos los resultados sean igualmente probables —tales como los dados, las ruletas, etc.—