Algoritmo QMR

EL proceso de Biortogonalización para matrices no simétricas de Lanczos, consiste en construir dos bases ortogonales a los subespacios ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}\left(A,v_{1}\right)=\mathrm {span} \left\{v_{1},Av_{1},\ldots ,A^{m-1}v_{1}\right\}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}\left(A^{T},w_{1}\right)=\mathrm {span} \left\{w_{1},A^{T}w_{1},\ldots ,\left(A^{T}\right)^{m-1}v_{1}\right\}}$.

Para construir estas bases Biortogonales en los subespacios ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}\left(A,v_{1}\right)}$ y ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}\left(A^{T},w_{1}\right)}$ se utilizara el algoritmo que se muestra a continuación

Luego de usar este algoritmo se garantiza en aritmética exacta que ${\displaystyle \left(v_{i},w_{j}\right)=0}$ si ${\displaystyle i\neq j}$ y ${\displaystyle \left(v_{i},w_{j}\right)=1}$ si ${\displaystyle i=j}$. Ahora con los valores ${\displaystyle \alpha _{j}}$, ${\displaystyle \beta _{j}}$ y ${\displaystyle \delta _{j}}$ obtenidos por el algoritmo anterior vamos a construir la matriz ${\displaystyle T_{m}}$ como una tridiagonal de la siguiente forma.

Se construye la matriz ${\displaystyle {\overline {T}}_{m}}$ a partir de la que se obtuvo en la biortogonalización de Lanczos de la siguiente forma

Otras de las cosas que se usaran en el algoritmo es la factorización QR, la cual se obtiene aplicando las rotaciones ${\displaystyle \Omega _{i}}$ obtenidas de la siguiente forma.

donde ${\displaystyle c_{i}}$ y ${\displaystyle s_{i}}$ se consiguen de la siguiente forma. ${\displaystyle s_{i}={\frac {a_{i+1,i}}{\sqrt {\left(a_{ii}^{(i-1)}\right)^{2}+a_{i+1,i}^{2}}}}\quad c_{i}={\frac {a_{ii}^{(i-1)}}{\sqrt {\left(a_{ii}^{(i-1)}\right)^{2}+a_{i+1,i}^{2}}}}}$

Donde ${\displaystyle a_{ii}^{(i-1)}}$ ${\displaystyle a_{i+1,i}}$ corresponden a las respectivas entradas de la matriz luego de aplicarse las rotaciones ${\displaystyle \Omega _{1},\ldots ,\Omega _{i-1}}$.