Análisis de nodos

Figura 3: Circuito sencillo con una tensión desconocida V₁.

La única tensión desconocida en este circuito es V₁. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, así:

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Corriente en R1:}}&{V_{1}-V_{s} \over R_{1}}\\{\text{Corriente en R2:}}&{V_{1} \over R_{2}}\\{\text{Corriente en Is:}}&I_{s}=-I_{s}\\\end{cases}}\,}$

Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:

${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}$
Se resuelve con respecto a V₁:

${\displaystyle V_{1}=\left({\frac {V_{S}}{R1}}+I_{S}\right):\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$

Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular cualquier corriente desconocida.

${\displaystyle V_{1}=\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right):\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)\approx 4.667{\text{ V}}}$

Figura 4: Gráfico del Ejemplo 2

Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos

Solución:

1. Se localizan todos los nodos del circuito.
2. Se busca el nodo con más conexiones y se le llama nodo de referencia V_d (Figura 5).
3. No hay fuentes de tensión.
4. Se le asignan variables a los nodos V_a, V_b y V_c
5. Se plantean las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff, así:
   • Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de ${\displaystyle 2\Omega }$ tiene la polaridad de la Figura 5. Así

Figura 5

${\displaystyle \displaystyle {\frac {V_{a}-V_{b}}{2}}=10}$

simplificando:

${\displaystyle {1 \over 2}V_{a}-{1 \over 2}V_{b}=10}$

• Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán la polaridad de la Figura 6:

Figura 6

factorizando obtenemos

• Para la polaridad del nodo Vc asumimos así:

Figura 7

factorizando obtenemos:

${\displaystyle -{1 \over 4}V_{b}+{9 \over 20}V_{c}=0}$

Sistema de ecuaciones: Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores de los voltajes en los nodos.

${\displaystyle {\begin{cases}{1 \over 2}V_{a}-{1 \over 2}V_{b}=10\\-{1 \over 2}V_{a}+{13 \over 12}V_{b}-{1 \over 4}V_{c}=0\\-{1 \over 4}V_{b}+{9 \over 20}V_{c}=0\\\end{cases}}\,}$

Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: ${\displaystyle V_{a}=42.5V}$, ${\displaystyle V_{b}=22.5V}$ y ${\displaystyle V_{c}=12.5V}$

Figura 9: Ejemplo de supernodo

Para calcular la tensión entre las terminales de la fuente de tensión, sumamos las tensiones de las resistencias que están unidas a estos nodos, y además consideramos los dos nodos de la fuente de tensión como uno solo, así:

• Tensión en la resistencia de 4Ω:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {V_{a}-V_{b}}{4}}=10}$

factorizando

${\displaystyle {1 \over 4}V_{a}-{1 \over 4}V_{b}=10}$

• Observamos el supernodo en los nodos ${\displaystyle V_{b}}$ y ${\displaystyle V_{c}}$, tomamos estos dos nodos como uno solo, por lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a

${\displaystyle V_{b}}$ y ${\displaystyle V_{c}}$:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {V_{b}-V_{a}}{4}}+\displaystyle {\frac {V_{b}}{3}}+\displaystyle {\frac {V_{c}}{5}}=0}$

factorizando

${\displaystyle -{1 \over 4}V_{a}+{7 \over 12}V_{b}+{1 \over 5}V_{c}=0}$

• Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en los nodos así:

${\displaystyle V_{b}-V_{c}=10}$

Observación:Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta última ecuación, y así obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.

Sistema de ecuaciones: ${\displaystyle {\begin{cases}{1 \over 4}V_{a}-{1 \over 4}V_{b}=10\\-{1 \over 4}V_{a}+{7 \over 12}V_{b}+{1 \over 5}V_{c}=0\\V_{b}-V_{c}=10\end{cases}}\,}$

Resolviendo V_a= 62,5 V, V_b= 22,5 V y V_c= 12,5 V