Autómata celular

Topología del autómata celular de 2D plegado en 3D para el caso de frontera periódica.

Por definición, un A.C. consiste en una retícula infinita de enteros. Sin embargo, para cuestiones prácticas (como en modelos de sistemas físicos llevados a cabo en ordenadores de memoria finita), se requiere tomar ciertas consideraciones a la hora de implementar un A.C. Por ello, la definición original se modifica para dar cabida a retículas finitas en las que las células del A.C. interactúen. Esto conlleva la consideración extra de lo que debe suceder con aquellas células que se encuentren en los bordes de la retícula. A la implementación de una o varias consideraciones específicas se le conoce como condición de frontera.

Dentro del ámbito de los A.C., se pueden implementar numerosas condiciones de frontera, en función de lo que el problema real requiera para su modelado. Por ejemplo:

• Frontera abierta. Se considera que fuera de la lattice residen células, todas con un valor fijo. En el caso particular del juego de la vida y de otros A.C. con dos estados en su conjunto ${\displaystyle k}$, una frontera se dice fría si las células fuera de la frontera se consideran muertas, y caliente si se consideran vivas.
• Frontera periódica. Se considera a la lattice como si sus extremos se tocaran. En una lattice de dimensión 1, esto puede visualizarse en dos dimensiones como una circunferencia. En dimensión 2, la lattice podría visualizarse en tres dimensiones como un toroide.
• Frontera reflectora. Se considera que las células fuera de la lattice "reflejan" los valores de aquellas dentro de la lattice. Así, una célula que estuviera junto al borde de la lattice (fuera de ella) tomaría como valor el de la célula que esté junto al borde de la lattice, dentro de ella.
• Sin frontera. Haciendo uso de implementaciones que hagan crecer dinámicamente el uso de memoria de la lattice implementada, se puede asumir que cada vez que las células deben interactuar con células fuera de la lattice, esta se hace más grande para dar cabida a estas interacciones. Obviamente, existe un límite (impuesto por la memoria disponible) para esta condición. Es muy importante no confundir esta condición de frontera con la definición original de A.C. cuya lattice es inicialmente infinita. En el caso de un A.C. sin frontera, la lattice comienza con un tamaño definido y finito, y conforme se requiera va creciendo en el tiempo, lo cual no lo hace necesariamente un modelo más cercano a la realidad, pues si se inicializara la lattice aleatoriamente, con esta condición sólo se pueden inicializar las células dentro de la lattice inicial finita, mientras que en el caso de la definición original, en teoría todas las células de la lattice infinita deberían ser inicializadas.

Los A.C. pueden variar en alguna de las características antes mencionadas, derivando en autómatas celulares no estándar.

Por ejemplo, un A.C. estándar tiene una cuadrícula donde se asume que las células son cuadros; es decir, que la retícula tiene una geometría cuadrada. Esto no es necesariamente un requisito, y se puede variar el A.C. para presentar una geometría triangular o hexagonal (en A.C. de 2 dimensiones, el cuadrado, el triángulo y el hexágono son las únicas figuras geométricas que llenan el plano).

También puede variarse el conjunto de estados ${\displaystyle k}$ que cada célula puede tomar, la función de transición ${\displaystyle f}$ de forma que ya no sea homogénea, utilizar elementos estocásticos (aleatoriedad) en ${\displaystyle f}$ (lo que se conoce como A.C. probabilístico), variar las vecindades de cada célula, etc.

La complejidad de un autómata celular se determina conforme aumenta su dimensionalidad (lineal, plano, espacio, etc), pues el número de posibles vecinos incrementa de acuerdo a las geometrías o distribuciones espaciales en las que se genere. Para el caso de una dimensión cada célula tendrá solo 2 vecinos, en dos dimensiones (o plano) contara con 4 vecinos (arriba, abajo, izquierda, derecha), 8 vecinos si se toman en cuenta las diagonales y en 3D llegara a tener hasta posibles 26 vecinos.

La primera etapa la inicia von Neumann,[1] quien una vez terminada su participación en el desarrollo y terminación de la primera computadora ENIAC tenía en mente desarrollar una máquina con la capacidad de construir a partir de sí misma otras máquinas (auto-reproducción) y soportar comportamiento complejo. Con la ayuda de su amigo Stanislaw Ulam, von Neumann implementa la teoría de los autómatas celulares en un vector de dos dimensiones ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ (donde ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ representa el conjunto de los enteros). El vector es llamado el espacio de evoluciones y cada una de las posiciones (llamadas células) en el vector toma un valor del conjunto de estados ${\displaystyle |k|=29}$. La función de transición que determina el comportamiento del autómata celular utiliza la vecindad de von Neumann, que consiste en un elemento central ${\displaystyle x(i,j)}$ (llamada célula central) y sus vecinos que son las células ${\displaystyle x(i,j-1)}$, ${\displaystyle x(i,j+1)}$, ${\displaystyle x(i-1,j)}$ y ${\displaystyle x(i+1,j)}$ (es decir, la célula en cuestión y sus células vecinas más próximas, arriba, abajo, izquierda y derecha, respectivamente).

En 1970, John Horton Conway dio a conocer el autómata celular que probablemente sea el más conocido: el Juego de la vida (Life), publicado por Martin Gardner en su columna Mathematical Games en la revista Scientific American.[2] Life ocupa una cuadrícula (lattice bidimensional) donde se coloca al inicio un patrón de células "vivas" o "muertas". La vecindad para cada célula son ocho: los vecinos formados por la vecindad de Von Neumann y las cuatro células de las dos diagonales (esta vecindad se conoce como vecindad de Moore). De manera repetida, se aplican simultáneamente sobre todas las células de la cuadrícula las siguientes 3 reglas:

1. Nacimiento: se reemplaza una célula muerta por una viva si dicha célula tiene exactamente 3 vecinos vivos.
2. Muerte: se reemplaza una célula viva por una muerta si dicha célula no tiene más de 1 vecino vivo (muerte por aislamiento) o si tiene más de 3 vecinos vivos (muerte por sobrepoblación).
3. Supervivencia: una célula viva permanecerá en ese estado si tiene 2 o 3 vecinos vivos.

Una de las características más importantes de Life es su capacidad de realizar cómputo universal, es decir, que con una distribución inicial apropiada de células vivas y muertas, Life se puede convertir en una computadora de propósito general (máquina de Turing).

Stephen Wolfram[3] ha realizado numerosas investigaciones sobre el comportamiento cualitativo de los A.C. Con base en su trabajo sobre AC unidimensionales, con dos o tres estados, sobre configuraciones periódicas que se presentan en el A.C., observó sus evoluciones para configuraciones iniciales aleatorias. Así, dada una regla, el A.C. exhibe diferentes comportamientos para diferentes condiciones iniciales.

De esta manera, Wolfram clasificó el comportamiento cualitativo de los A.C. unidimensionales. De acuerdo con esto, un AC pertenece a una de las siguientes clases:

• Clase I. La evolución lleva a una configuración estable y homogénea, es decir, todas las células terminan por llegar al mismo valor.
• Clase II. La evolución lleva a un conjunto de estructuras simples que son estables o periódicas.
• Clase III. La evolución lleva a un patrón caótico.
• Clase IV. La evolución lleva a estructuras aisladas que muestran un comportamiento complejo (es decir, ni completamente caótico, ni completamente ordenado, sino en la línea entre uno y otro, este suele ser el tipo de comportamiento más interesante que un sistema dinámico puede presentar).

Autómata celular generado con la regla 30.

El autómata celular no trivial más simple consiste en una retícula unidimensional de células que sólo pueden tener dos estados (« 0 » o « 1 »), con un vecindario constituido, para cada célula, por ella misma y por las dos células adyacentes (2³=8 configuraciones posibles). Existen 2⁸=256 modos de definir cuál ha de ser el estado de una célula en la generación siguiente para cada una de estas configuraciones, luego existen 256 autómatas celulares diferentes de este tipo.

Consideremos el autómata celular definido por la tabla siguiente, que nos da la regla de evolución:

Se trata de un ejemplo de autómata celular creado por John Horton Conway en 1970.

Consiste en un plano infinito lleno por completo "células" cuadradas, cada una de las cuales puede estar viva o muerta. Así, cada una de las células está rodeada por otras ocho que denominaremos "vecinas", y su estado depende de ellas siguiendo estas sencillas reglas:

• Una célula muerta vuelve a la vida si tiene tres células vecinas vivas.
• Una célula viva muere si tiene más de tres vecinas vivas o menos de dos.

La simulación de este autómata muestra interesantes tipos de patrones de comportamiento de las "células" que son dignas de estudio.

Se trata de un ejemplo de autómata celular creado por Christopher Langton en 1986. Consiste en una "hormiga" que se desplaza sobre un plano infinito de baldosas cuadradas de color blanco o negro. Se desplaza siguiendo estas sencillas reglas:

• Primero, cambia el color de la baldosa que pisa.
• Luego gira 90º grados, a la derecha si la baldosa era blanca, o a la izquierda si era negra.
• Por último, avanza a la siguiente baldosa.

El comportamiento desarrollado por esta "hormiga" ha sido digno de estudio. Comienza con patrones de movimiento simples, a los que siguen otros caóticos, para terminar siguiendo un patrón cíclico que forma una "calle" en diagonal por la que avanza ininterrumpidamente la "hormiga".

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• Prenzl!! Artistic Cellular Automata - Software libre para desarrollar AC artísticos y otros sistemas dinámicos.
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