Modulación por desplazamiento de fase

Para establecer matemáticamente las tasas de error correspondientes a cada modulación, definiremos algunos conceptos:

• ${\displaystyle E_{b}}$ = Energía por bit
• ${\displaystyle E_{s}}$ = Energía por símbolo = ${\displaystyle kE_{b}}$ con k bits por símbolo
• ${\displaystyle T_{b}}$ = Duración del bit
• ${\displaystyle T_{s}}$ = Duración del símbolo
• ${\displaystyle N_{0}/2}$ = Densidad espectral de potencia de ruido(W/Hz)
• ${\displaystyle P_{b}}$ = Probabilidad de bit erróneo
• ${\displaystyle P_{s}}$ = Probabilidad de símbolo erróneo

La función ${\displaystyle Q(x)}$ se utiliza para calcular la tasa de errores en una modulación. Es la forma normalizada de la función de error gaussiana complementaria:

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}/2}dt={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq {}0}$.

La velocidad de transmisión de los símbolos en PSK viene dada por la expresión:

${\displaystyle V_{b}=V_{B}*\log _{2}n}$

Donde:

${\displaystyle n}$: número de niveles de la señal digital.

${\displaystyle V_{b}}$: Velocidad de transmisión en bits/segundo.
${\displaystyle V_{B}}$: Velocidad de transmisión en baudios.

La descripción matemática de una señal modulada BPSK es la siguiente:

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t+\pi (1-n));\,n\in \{0,1\}}$

Esta expresión proporciona dos fases: 0° y 180° (π radianes). En la forma específica, los datos binarios se transmiten a menudo con las siguientes señales:

${\displaystyle s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}$

${\displaystyle s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}$

donde:

• ${\displaystyle \scriptstyle f_{c}}$: frecuencia de la onda portadora.
• ${\displaystyle \scriptstyle s_{0}(t)}$: señal de salida para el "0" lógico.
• ${\displaystyle \scriptstyle s_{1}(t)}$: señal de salida para el "1" lógico.

Por lo tanto, el espacio de señal que es el cociente ${\displaystyle \textstyle {\frac {s(t)}{\sqrt {E_{b}}}}}$ puede ser representado por la función base:

${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}$

donde 1 es representado por ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$ y 0 por ${\displaystyle \textstyle -{\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$. Esta asignación es, por supuesto, arbitraria.

La tasa de bits erróneos de BPSK es baja, debido a su máxima separación entre saltos de fase. Esta tasa con ruido blanco gaussiano y aditivo se puede calcular como:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{array}{lcr}P_{b}&=&Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{o}}}}\right)\end{array}}}$

donde ${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(\right)}$ es la función de error complementaria. Ya que en el esquema digital BPSK solo hay un bit por símbolo, esta es también la tasa de error de símbolo.

La implementación de QPSK es más general que la de BPSK y también indica la aplicación de modulación PSK de orden superior. Escribiendo la ecuación que representa al símbolo n-ésimo, ${\displaystyle \scriptstyle s_{n}(t)}$, en el diagrama de constelación en términos de las ondas portadoras en cuadratura se obtiene:

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n\in \{1,2,3,4\}}$

lo cual proporciona las fases de 45° (π/4 rad), 135° (3π/4 rad), 225° (5π/4 rad) y 315° (7π/4 rad).

Las ondas portadoras son representadas con las funciones base siguientes:

${\displaystyle \phi _{1}(t)={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\cos(2\pi f_{c}t)}$

${\displaystyle \phi _{2}(t)={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\sin(2\pi f_{c}t)}$

siendo ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}(t)}$ el componente "en-fase" (eje I) de la señal y ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}(t)}$ el componente en cuadratura. Por tanto, cada uno de los puntos del diagrama de constelación se representa, sustituyendo a "n" por los cuatro valores que son aceptados, mediante las coordenadas:

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}},\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}\right)}$

Comparando las funciones de base obtenidas con las de BPSK, se muestra claramente que QPSK se puede ver como dos señales BPSK independientes. Hay que tener en cuenta que para los puntos de espacio de señal para BPSK no es necesario dividir el símbolo (bit) de energía a través de los dos portadores en el esquema mostrado en el diagrama de constelación BPSK.

Los sistemas QPSK se pueden implementar en diversas formas. Las siguientes gráficas muestran los principales componentes del transmisor y del receptor:

Modulador QPSK. El flujo binario es dividido dos componentes, denominados canales I (inphase, en fase) y Q (quadrature, en cuadratura) que modulan independientemente a dos portadoras ortogonales entre sí. Después, las dos señales se superponen, y la señal resultante es la señal QPSK. En la figura se muestran dos codificadores (NRZ Encoder) que se pueden colocar antes de la entrada del flujo de datos binario, aunque han sido colocados después para ilustrar la diferencia conceptual entre señales digitales y analógicas involucradas en la modulación digital. La implementación es semejante al modulador de QAM digital.

Demodulador QPSK. Cada dispositivo de detección usa un valor umbral de referencia para determinar si se ha detectado un 0 o un 1.

Aunque QPSK puede ser vista como una modulación cuaternaria, es más fácil de verla como dos portadoras en cuadratura moduladas de forma independiente. Con esta interpretación, los bits pares (o impares) se utilizan para modular la componente en fase de la portadora, mientras que los demás bits se utilizan para modular la componente en cuadratura de fase de la portadora. BPSK se utiliza en ambas portadoras y pueden ser independientemente demoduladas.

Como resultado, la probabilidad de error de bit para QPSK es la misma que para BPSK:

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Sin embargo, con el fin de lograr la misma probabilidad de error de bit que tiene BPSK, QPSK utiliza el doble de la potencia, ya que dos bits se transmiten simultáneamente.

La tasa de error de símbolo está dada por:

${\displaystyle \,\!P_{s}}$	${\displaystyle =1-\left(1-P_{b}\right)^{2}}$
	${\displaystyle =2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-Q^{2}\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)}$.

Si la relación de señal a ruido es alta, como ocurre en los sistemas prácticos QPSK, la probabilidad de error de símbolo se puede aproximar a:

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)}$

Para comprender el funcionamiento de QPSK en el dominio temporal, es necesario analizar lo que ocurre cuando las portadoras en cuadratura son moduladas con un flujo de datos que contiene todas las señales posibles. En el diagrama anexo, se pueden observar las señales I y Q que se obtienen a la salida de cada modulador y la señal total a la salida del sumador lineal.

Diagrama temporal para QPSK. Las combinaciones de bits posibles aparecen bajo el eje del tiempo. Se muestran con las letras I y Q los componentes en cuadratura y fase con sus asignaciones de bits y, en el fondo, la señal combinada. Obsérvense los cambios abruptos en fase en determinados momentos.

Es una variante de QPSK, llamada QPSK con corrimiento,,[1] QPSK compensada,[2] QPSK desplazada y, a veces, SQPSK (sigla de Staggered quadrature phase-shift keying, Modulación por desplazamiento de fase en cuadratura escalonada) en la cual las formas de onda I y Q se desplazan entre sí en la mitad de un tiempo de bit.[2] Para lograr esto, se introduce en el canal en cuadratura Q un dispositivo que introduzca el retardo ya mencionado.

Diagrama de constelación para OQPSK con Código Gray.

El tomar cuatro valores de la fase (dos bits) a la vez para construir un símbolo QPSK puede permitir que la fase de la señal salte hasta 180° a la vez. Cuando la señal pasa por un filtro de paso bajo (como es típico en un transmisor), estos desplazamientos de fase dan como resultado fluctuaciones de gran amplitud, algo indeseable en los sistemas de comunicación. Mediante la compensación o desviación de la sincronización de los bits "en-fase" (I) y "en cuadratura" (Q) por un periodo de bit, o la mitad de un período de símbolo, los componentes en fase y en cuadratura no cambiarán nunca al mismo tiempo. En el diagrama de constelación respectivo, se puede ver que esto limitará el desplazamiento de fase a no más de 90° a la vez. Esto proporciona fluctuaciones de amplitud mucho menores que en la QPSK tradicional y se prefiere a veces en la práctica.

El diagrama temporal bajo estas líneas muestra la diferencia en el comportamiento de la fase entre la QPSK tradicional y la compensada. Aquí puede observarse que en el diagrama superior la fase puede cambiar hasta 180° a la vez, mientras que los cambios de fase en OQPSK nunca son mayores a 90°.

Diferencias de fase entre QPSK y OQPSK.

La representación en el eje del tiempo de una señal típica en OQPSK es mostrada en el diagrama de abajo. Obsérvese el desfase por un período de medio símbolo entre las señales I y Q. Los cambios abruptos de fase ocurren aproximadamente dos veces, al igual que en QPSK pero son más pequeños.

Diagrama temporal para la QPSK compensada (OQPSK). La secuencia del flujo de datos se muestra bajo el eje del tiempo. Los componentes I y Q con sus asignaciones son mostrados en la parte superior y la señal combinada está en el fondo.

Considerar que para la imagen que muestra la señal modulada en el dominio del tiempo la referencia es una función seno positiva con fase de 0°.

Diagrama doble de constelación para π/4-QPSK que muestra las dos constelaciones con codificación Gray girada en 45° una con respecto a la otra.

Esta variante de QPSK utiliza dos constelaciones idénticas que son giradas en 45° o π/4 (de ahí su nombre) una con respecto a la otra. Por lo general, cualquiera de los símbolos pares o impares se utilizan para seleccionar los puntos de una de las constelaciones y los otros símbolos seleccionan puntos de la otra. Esto también reduce los desfases hasta un máximo de 135°.

Una propiedad que este esquema de modulación posee, es que si la señal modulada se representa en el plano complejo, esta no pasa por el origen. Esto reduce el rango dinámico de las fluctuaciones en la señal, lo que es deseable cuando se producen las señales de comunicaciones. Por otra parte, este tipo de modulación se presta a una demodulación fácil y ha sido adoptado para su uso en, por ejemplo, la técnica TDMA de redes de telefonía celular.

Abajo se muestra el diagrama temporal para este esquema de modulación. La construcción de la señal es la misma que en la QPSK tradicional. Los símbolos sucesivos son tomados de las dos constelaciones que forman este esquema. Así, el primer símbolo (marcado como 1 1) es tomado de la constelación coloreada de azul y el segundo símbolo (0 0) proviene de la constelación en verde. Puede notarse que las magnitudes de las ondas I y Q cambian mientras se hacen cambios de símbolos entre constelaciones, pero la magnitud de la señal total permanece constante.

Diagrama de tiempo para π/4-QPSK. El flujo de datos se muestra en el eje temporal. Las señales I y Q se muestran en la parte superior y en la inferior se encuentra la señal combinada. Note que los símbolos sucesivos son tomados alternativamente entre las dos constelaciones.

El esquema de modulación digital SOQPSK (Shaped Offset QPSK, que puede traducirse como QPSK de desplazamiento continuo) es una modulación altamente eficiente en cuanto al uso de ancho de banda, ya que, al igual que en OQPSK, las señales en los canales I y Q son desplazadas por la mitad de un tiempo de símbolo, por lo que no existen desplazamientos de fase de 180° y se limita el uso del ancho de banda. La SOQPSK lleva más allá la eficiencia en el uso del ancho de banda ya que las transiciones de fase son continuas (shaped, como se denomina en la jerga técnica en idioma inglés) en lugar de ser instantáneas como en los demás esquemas.[3]

La señal en SOQPSK tiene la forma de un modulación de fase continua y se define mediante la siguiente fórmula:[4]

${\displaystyle s(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t+\theta (t)+\theta _{0})}$

donde:

${\displaystyle \textstyle \theta (t)}$ es la función que transporta los cambios de fase y

${\displaystyle \textstyle \theta _{0}}$ es la fase inicial.

A su vez, ${\displaystyle \textstyle \theta (t)}$ es definida mediante la sumatoria:

${\displaystyle \theta (t)=2\pi h\sum _{k}{\alpha _{k}q(t-kT)}}$

con:

${\displaystyle q(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )d\tau }$

En estas últimas ecuaciones, ${\displaystyle \textstyle h}$ es el índice de modulación ${\displaystyle q(t)}$ es el pulso de fase y ${\displaystyle g(\tau )}$ denota la frecuencia instantánea de una función de pulso y los números ${\displaystyle \alpha _{k}}$ son los símbolos transmitidos que toman los valores de +1, 0 y -1. Por tanto, esta es una modulación continua de fase de tipo ternario.

Para generar una señal SOQPSK se usa un sistema que se presenta en el diagrama de bloques, en el cual el flujo de datos de tipo NRZ (no-retorno a cero) es introducido a un precodificador que genera una señal ternaria y los pulsos que se generan son "suavizados" para ahorrar ancho de banda y luego pasados por un integrador, para luego generar las señales respectivas en los canales I y Q del modulador digital.

La modulación digital FQPSK (Feher-patented QPSK, que puede traducirse como "QPSK patentado por Feher"), es un esquema de QPSK patentado por el científico estadounidense Kamilo Feher[5][6] que engloba la combinación de envolvente constante y estrechamiento del ancho de banda basándose en la modulación OQPSK.[4] El flujo de datos de entrada sin retorno a cero (NRZ) es dividido en dos canales de datos I y Q mediante un convertidor serie a paralelo. La señal del canal Q es retrasada en una cantidad de medio tiempo de símbolo. Las señales obtenidas son rectangulares y los filtros IJF (Interference and Jitter Free, Libre de Interferencia y Jitter, en idioma español) se encargan de "suavizar" los pulsos para disminuir el ancho de banda. Las señales ya procesadas son introducidas al bloque de correlator cruzado, el cual se encarga de reducir la fluctuación de la señal de 3dB a 0dB, de modo que se pueda generar una señal con envolvente constante o casi constante, pero ampliando ligeramente su ancho de banda. Las señales de salida del correlator, I(t) y Q(t) mediante dos moduladores de producto, modulan una misma señal portadora con diferencia de fase de 90°, en un montaje similar a de las modulaciones QAM y QPSK.

El receptor para este esquema en su forma óptima es complejo. La señal recibida, como en otras modulaciones digitales, es dividida en dos y se dirige a dos moduladores de producto que usan la señal portadora recuperada con un desfase de 90°. La salida de cada modulador es procesada para obtener las señales ${\displaystyle \scriptstyle Z_{I}(i)}$ y ${\displaystyle \scriptstyle Z_{Q}(j)}$ a partir de las cuales, se obtienen las señales I y Q originales.

Es la sigla de Dual-polarization quadrature phase shift keying (que puede traducirse como Modulación por desplazamiento de fase en cuadratura de polarización dual), esquema que implica la multiplexación de polarización de dos señales diferentes QPSK, lo que duplica la eficiencia espectral. Esta es una alternativa efectiva en costo, a la utilización de 16-PSK en lugar de QPSK para duplicar la eficiencia espectral.

En general para una modulación PSK de orden M, también llamada M-PSK, no existe una expresión sencilla para el cálculo probabilidad de error de símbolo si M>4. Solo puede derivarse de la siguiente ecuación:

${\displaystyle P_{s}=1-\int _{-{\frac {\pi }{M}}}^{\frac {\pi }{M}}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)d\theta _{r}}$

donde:

${\displaystyle p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)={\frac {1}{2\pi }}e^{-2\gamma _{s}\sin ^{2}\theta _{r}}\int _{0}^{\infty }Ve^{-\left(V-{\sqrt {4\gamma _{s}}}\cos \theta _{r}\right)^{2}/2}dV}$,

${\displaystyle V={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}}}$,

${\displaystyle \theta _{r}=\tan ^{-1}\left(r_{2}/r_{1}\right)}$,

${\displaystyle \gamma _{s}={\frac {E_{s}}{N_{0}}}}$

${\displaystyle r_{1}\sim {}N\left({\sqrt {E_{s}}},N_{0}/2\right)}$

${\displaystyle r_{2}\sim {}N\left(0,N_{0}/2\right)}$

siendo estas tres últimas, variables aleatorias conjuntas gausianas.

Curvas de tasas de error de bit para las modulaciones BPSK, QPSK, 8-PSK y 16-PSK, en un canal con ruido blanco aditivo gaussiano.

La probabilidad puede ser calculada, en forma aproximada, para valores altos de M y de ${\displaystyle {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}$ mediante la expresión:

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {2\gamma _{s}}}\sin {\frac {\pi }{M}}\right)}$.

La probabilidad de error de bit para M-PSK solo se puede determinar exactamente una vez que se conoce la asignación de bits. Sin embargo, cuando se utiliza la codificación Gray, el error más probable de un símbolo al siguiente produce solo un único bit de error y por ello:

${\displaystyle P_{b}\approx {\frac {1}{k}}P_{s}}$.

El uso de codificación Gray permite aproximar el cálculo de la distancia de Lee de los errores, así como la distancia de Hamming de los errores en el flujo de bits decodificado, que es más fácil de implementar en hardware.

En el gráfico anexo a la izquierda, son comparadas las tasas de error de bit de las modulaciones BPSK, QPSK, 8-PSK y 16-PSK. Se observa que las modulaciones de orden superior presentan mayores tasas de errores; sin embargo, a cambio ofrecen una mayor velocidad de datos en bruto.

Los límites en las tasas de error de los diversos esquemas de modulación digital se pueden calcular con la aplicación de la desigualdad de Boole a la constelación de la señal.