Binomio

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

${\displaystyle c(a+b)=ca+cb}$

o realizando la operación:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &&c\\\hline &ca&+cb\end{array}}}$

Representación gráfica de la regla de factor común

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).

Ejemplo:

${\displaystyle 3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^{2}-18xy}$

O también:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&4x&-6y\\\times &&3x\\\hline &12x^{2}&-18xy\end{array}}}$

El binomio ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ puede factorizarse como el producto de dos binomios:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$.

Demostración:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&-b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&&-b^{2}\end{array}}}$

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: ${\displaystyle a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}}$.

El producto de un par de binomios lineales ${\displaystyle (ax+b)}$ ${\displaystyle (cx+d)}$ es:

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+axd+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&ax&+b\\\times &cx&+d\\\hline &adx&+bd\\acx^{2}&+bcx&\\\hline acx^{2}&+(ad+bc)x&+bd\end{array}}}$

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:${\displaystyle (a+b)^{n}}$, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: ${\displaystyle (p+q)^{2}}$

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

${\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}}$.

La operación se efectúa del siguiente modo:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&+b\\\hline &+ab&+b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&+2ab&+b^{2}\end{array}}}$

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma ${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}}$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

${\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}}$

La operación se efectúa del siguiente modo:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&-b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&+b^{2}\\a^{2}&-ab&\\\hline a^{2}&-2ab&+b^{2}\end{array}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}}$