Bosón de Goldstone

Supóngase un campo escalar complejo φ (phi), con la ligadura φ^*φ = k². Una forma de obtener una ligadura de este tipo es incluyendo un potencial.

${\displaystyle \lambda ^{2}(\phi ^{*}\phi -k^{2})^{2}\,}$

y tomar el límite en que λ tiende a infinito. El campo se puede redefinir para produzca un campo escalar (es decir, partículas de espín cero) θ sin ninguna ligadura, utilizando

${\displaystyle \phi =ke^{i\theta }\,}$

donde θ es el bosón de Goldstone (en realidad lo es kθ) y la densidad lagrangiana vendría dada por:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi ^{*}\phi =-{\frac {1}{2}}(-ike^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ike^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )+m^{2}k^{2}=-{\frac {k^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )+m^{2}k^{2}.}$

Observe que el término constante m²k² no tiene significado físico y el otro término es sencillamente el término cinético de un escalar sin masa. Por lo general, los bosones de Goldstone casi nunca tienen masa y parametrizan la curva de los posibles estados del vacío.

La base de la proposición de Goldstone es que el operador carga de cualquier corriente simétrica no depende del tiempo.

${\displaystyle {d \over dt}Q={d \over dt}\int _{x}J^{0}(x)=0}$

Por lo que, al actuar el operador carga sobre el vacío, siempre se genera un estado de frecuencia nula.

Si el vacío no es invariante bajo la simetría, al actuar con el operador carga se produce un estado que es diferente del vacío, pero que tiene frecuencia nula. Ésta es una oscilación de longitud de onda larga de un campo que es cuasi estacionario. Se concluye pues que existen estados con frecuencia nula y que la teoría no puede tener saltos másicos.

Este razonamiento se verá más claro si se toma el límite cuidadosamente. Si se aplica al vacío un operador carga aproximado,

${\displaystyle {d \over dt}Q_{A}={d \over dt}\int _{x}e^{-x^{2} \over 2A^{2}}J^{0}(x)=-\int _{x}e^{-x^{2} \over 2A^{2}}\nabla \cdot J=\int _{x}\nabla (e^{-x^{2} \over A^{2}})\cdot J.}$

se genera un estado con derivada temporal casi nula.

${\displaystyle ||{d \over dt}Q_{A}|0\rangle ||\approx {1 \over A}||Q_{A}|0\rangle ||\,}$

Suponiendo un salto másico ${\displaystyle m_{0}}$, la frecuencia de cualquier estado ortogonal al del vacío será al menos ${\displaystyle m_{0}}$.

${\displaystyle ||{d \over dt}|\psi \rangle ||=||H|\psi \rangle ||\geq m_{0}||\;|\psi \rangle ||\,}$

Si se deja que A creazca mucho se producirá una contradicción.

Este razonamiento falla por completo cuando la simetría tiene un gauge, ya que entonces el generador de la simetría estará realizando sólo una transformación gauge. Un estado gauge transformado es exactamente el mismo estado, de forma que al actuar con un generador simétrico no se saldrá del vacío.

Existe una versión del teorema de Goldstone que también aplica a las teorías no relativistas (y también a las teorías relativistas con ruptura espontánea de simetría Lorentz. Básicamente indica que por cada simetría global espontáneamente rota le corresponde una cuasipartícula sin salto energético (la versión no relativista del salto másico). Es importante observar que aquí la energía es en realidad ${\displaystyle H-\mu N-{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {P}}}$ y no ${\displaystyle H}$. Sin embargo, existen dos generadores espontáneamente rotos diferentesque pueden dar lugar al mismo bosón de Goldstone. Por ejemplo, en un superfluido, tanto la simetría U(1) del número de partículas, como la simetría galileana sufren ruptura espontánea. Sin embargo, el fonón es el bosón de Goldstone de ambos.

De hecho, por lo general, el fonón es el bosón de Goldstone de la simetría de Galileo / Lorentz rota.