Cíclido de Dupin

Un cíclido elíptico se puede representar de forma paramétrica mediante las siguientes fórmulas (s. Weblinks):

${\displaystyle x={\frac {d(c-a\cos u\cos v)+b^{2}\cos u}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle y={\frac {b\sin u(a-d\cos v)}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle z={\frac {b\sin v(c\cos u-d))}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle 0\leq u,v<2\pi \ .}$

Los números ${\displaystyle a,b,c,d}$ cumplen las condiciones ${\displaystyle a>b>0,c^{2}=a^{2}-b^{2},d\geq 0}$ y determinan la forma de la elipse ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,z=0}$ y la hipérbola ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1,y=0}$.

Para ${\displaystyle u=const}$, ${\displaystyle v=const}$, respectivamente, se obtienen las líneas de curvatura (circunferencias) de la superficie.

La representación implícita correspondiente es:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-d^{2})^{2}-4(ax-cd)^{2}-4b^{2}y^{2}=0\ .}$

En el caso de ${\displaystyle a=b}$ se obtiene ${\displaystyle c=0}$, es decir, la elipse es un círculo y la hipérbola degenera en una recta. Los cíclidos correspondientes son toros de revolución.

Cíclidos de Dupin elípticos con parámetros de diseño (a,b,c,d)
${\displaystyle d=0}$	${\displaystyle 0<d<c}$	${\displaystyle d=c}$	${\displaystyle c<d}$	${\displaystyle d=a}$	${\displaystyle a<d}$
Cíclido con cuernos simétrico	Cíclido con cuernos	Cíclido con cuernos	Cíclido de anillo	Cíclido de anillo	Cíclido de huso

Un cíclido parabólico puede ser generado mediante la siguiente representación paramétrica:

${\displaystyle x={\frac {p}{2}}\,{\frac {2v^{2}+k(1-u^{2}-v^{2})}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y=pu\,{\frac {v^{2}+k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle z=pv\,{\frac {1+u^{2}-k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle -\infty <u,v<\infty \ .}$

El número ${\displaystyle p}$ determina la forma de ambas parábolas: ${\displaystyle y^{2}=p^{2}-2px,z=0}$ y ${\displaystyle z^{2}=2px,y=0}$.

Una representación implícita correspondiente es

${\displaystyle \left(x+\left({\frac {k}{2}}-1\right)p\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-{\frac {k^{2}p^{2}}{4}}\right)+pz^{2}=0\ .}$

Cíclidos de Dupin parabólicos con parámetros de diseño (p=1, k)
${\displaystyle k=0.5}$	${\displaystyle k=1}$	${\displaystyle k=1.5}$
Cíclido de anillo	Cíclido con cuernos	Cíclido con cuernos

Observación: al representar los círculos, aparecen espacios que son causados por la restricción necesaria de los parámetros ${\displaystyle u,v}$.

a) Debido a que las líneas que no contienen el origen se asignan mediante una inversión en una esfera (en la imagen: magenta) con círculos que contienen el origen, la imagen del cilindro es un cíclido de anillo con círculos que se tocan mutuamente en el origen. A medida que las imágenes de los segmentos de línea, que se muestran en la imagen, aparecen en los segmentos de círculo de línea como imágenes, las esferas que tocan el cilindro en el lado interno se distribuyen sobre un primer haz de esferas que generan el cíclido como superficie del canal. Las imágenes de los planos tangentes del cilindro se convierten en el segundo haz de esferas que toca el cíclido. Los últimos pasan por el origen.

b) El segundo ejemplo invierte un cilindro que contiene el origen. Las líneas que pasan por el origen se transforman en sí mismas. De ahí que la superficie sea ilimitada, y se genere un cíclido parabólico.

Las líneas que generan el cono se corresponden con círculos, que se intersecan en el origen y la imagen del vértice del cono. La imagen del cono es un cíclido de doble asta. La imagen muestra las imágenes de los segmentos de línea (del cono), que en realidad son segmentos de círculos.

Ambos haces de círculos en el toro (que se muestran en la imagen) están aplicados en los correspondientes haces de círculos en el cíclido. En el caso de un toro con auto-intersección, se obtendría un cíclido de huso.