Círculo mágico (matemáticas)

Círculo mágico de Yang Hui. Está construido con los números naturales del 1 al 33, colocados en cuatro círculos concéntricos y con el número 9 en el centro.

En este caso el círculo mágico está compuesto de cuatro anillos concéntricos de 8 números cada uno y el centro lo ocupa el valor 9, haciendo un total de 33 números. Este círculo mágico tiene las siguientes propiedades:

• La suma total del círculo mágico es 561.

• La suma de los números de sus 4 diámetros es 147.

${\displaystyle 20+16+23+10+9+2+29+32+6=147}$

${\displaystyle 33+1+13+22+9+18+26+17+8=147}$

${\displaystyle 12+31+19+7+9+25+11+5+28=147}$

${\displaystyle 4+21+14+30+9+24+3+15+27=147}$

• La suma de los 8 números de cada anillo concéntrico más el valor 9 del centro es también 147.

${\displaystyle 20+33+12+4+6+8+28+27+9=147}$

${\displaystyle 16+1+31+21+32+17+5+15+9=147}$

${\displaystyle 23+13+19+14+29+26+11+3+9=147}$

${\displaystyle 10+22+7+30+2+18+25+24+9=147}$

• La suma de cada uno de los 8 radios excluido el 9 central es 69. Por ejemplo, en los radios que conforman el primer diámetro de los indicados anteriormente:

${\displaystyle 20+16+23+10=69}$

${\displaystyle 2+29+32+6=69}$

• La suma de los números de cada anillo excluido el 9 central es 2 x 69.

• Además hay 8 semicírculos en los que la suma es también 69.

• Hay también 16 segmentos (conformados por semicírculos y radios) cuya suma es igualmente 69.

8 círculos mágicos en disposición cuadrada 八阵图

En este caso se disponen 64 números en 8 círculos de 8 números cada uno, agrupados en forma de cuadrado y dejando el centro libre. En consecuencia, cada lado del cuadrado está conformado por 3 círculos.

La suma mágica de cada círculo es 260, por lo que la suma total es 260 x 8 = 2080.

Empezando por la esquina superior izquierda y avanzando en el sentido de las agujas del reloj las sumas de los círculos mágicos son:

${\displaystyle 40+24+9+56+41+25+8+57=260}$

${\displaystyle 14+51+46+30+3+62+35+19=260}$

${\displaystyle 45+29+4+61+36+20+13+52=260}$

${\displaystyle 37+21+12+53+44+28+5+60=260}$

${\displaystyle 47+31+2+63+34+18+15+50=260}$

${\displaystyle 7+58+39+23+10+55+42+26=260}$

${\displaystyle 38+22+11+54+43+27+6+59=260}$

${\displaystyle 48+32+1+64+33+17+16+49=260}$

Además, la suma de los 8 números que se sitúan en cada uno de los dos ejes principales del cuadrado (izquierda-derecha, arriba-abajo) también cumple la suma mágica:

${\displaystyle 14+51+62+3+7+58+55+10=260}$

${\displaystyle 49+16+1+64+60+5+12+53=260}$

La suma de los 16 números que se sitúan en las dos diagonales del cuadrado es 2 veces 260: ${\displaystyle 40+57+41+56+50+47+34+63+29+4+13+20+22+11+6+27=2*260=520}$

9 círculos mágicos en disposición cuadrada 连环图

En este caso se disponen 9 círculos de 8 números cada uno formando un cuadrado. Al ocuparse el centro con un círculo se crean 4 círculos mágicos adicionales alrededor del centro también de 8 números. De esta forma el cuadrado en realidad contiene 13 círculos mágicos.

Las propiedades de esta disposición son las siguientes:

• La suma total de los 72 números es 2628.
• La suma mágica de cada uno de los círculos de 8 números (13 en total) es 292.
• La suma de 3 círculos en horizontal, vertical o diagonal es 876.