Código Binario de Golay

Es posible enviar 8 bits estándar utilizando el código binario de Golay estándar que utiliza una modulación de 8 a 12.Otros esquemas para posicionar los bits puede ser la utilización que permite compartir 8 bits de datos en el ancho de banda con 4 bits de telemetría.

En los términos matemáticos el código binario extendido de Golay consiste en un subespacio W de 12 dimensiones del espacio V=F₂²⁴ de palabras de 24 bits de tal manera que dos elementos distintos en el espacio W se diferencian al menos en las últimas 8 coordenadas. De manera equivalente cualquier elemento no cero de W tiene al menos 8 coordenadas que no son cero.

• El conjunto posible de coordenadas no cero así como los rangos w sobre el espacio W son llamadas palabras código. En el código binario extendido de Golay todas las palabras código tienen un peso Hamiltoniano de 0,8,12,16 o 24.

• Hasta el reetiquetado de coordenadas, W es único.

El código binario perfecto de Golay es un código perfecto, lo que significa que esferas de radio 3 alrededor de las palabras código forman una partición del espacio vectorial.

El grupo de automorfismos de código binario de Golay es el grupo Mathieu M_23.Y el grupo de automorfismo del código binario extendido de Golay es el Mathieu M_24. Los grupos Mathieu ocurren como estabilizadores de uno o de varios elementos de W.

Las palabras código Golay son elementos de S(5,8,24) del sistema Steiner.

1. Código lexicográfico: El orden de los vectores en V (por ejemplo, se interpretan como enteros binarios sin signo de 24 bits y toman el orden normal). Empezando con w_1=0, definimos w_2, w_3,..., w_12 suponiendo que w_n es el entero más pequeño que se diferencia de las combinaciones lineales de los elementos previos en al menos 8 coordenadas. Entonces el espacio W se puede definir como el espacio formado por w_1,..., w_12.
2. Código residual cuadrático: Considera el conjunto N de los cuadrados no residuales (mod 23). Esto es un subconjunto de 11 elementos del grupo cíclico Z/23Z. Considera la translación t+N de este subconjunto. Aumenta cada traslado al conjunto de 12 elementos S_t al añadir un elemento infinito. Entonces el etiquetado de los elementos básicos de V es 0, 1, 2,..., 22, ∞, W se puede definir como el espacio de las palabras de S_t con las palabras conseguidas a través de los vectores básicos. (El código perfecto se obtiene dejando fuera el infinito)
3. Código cíclico: El código perfecto G23, se puede construir al factorizar ${\displaystyle x^{23}-1}$, es el código generado por ${\displaystyle x^{11}+x^{10}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1/x^{23}-1}$
4. Generador milagroso de octarios de R, T Curtis: Utiliza un matriz de 4x6 celdas cuadradas para dibujar los 759 palabras código del código de Hamming de peso 8, o octarios de código binario extendido de Golay. Las palabras que quedan se obtienen a través de diferencias simétricas de subconjuntos de 24 celdas, por ejemplo a través de la adicción binaria.
5. La posición ganadora en el juego matemático de Mogul: la posición es Mogul es una columna de 24 monedas. Cada turno consiste en tirar de 1 a 7 monedas de tal forma que la que más lejos quede va a la cabeza de la cola. Las posiciones perdedoras son aquellas que no tiene un movimiento legal. Si las cabezas son interpretadas como uno y las cruces como cero mueves de tal manera las palabras código del código extendido de Golay entonces garantizas que es posible ganar la partida.

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• Página Código de Golay en inglés