Centro de masas

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}={\frac {\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum _{i}m_{i}}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle M}$, masa total del sistema de partículas.

${\displaystyle m_{i}\,}$, masa de la partícula i-ésima.

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$, vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia supuesto.

Un poco más explícito si A₁,... A_n son n puntos, y m₁,... m_n n números (m como masa). Entonces el centro de masa de los (A_i, m_i) es el punto G definido como sigue:

${\displaystyle {\overrightarrow {OG\,}}={\frac {\sum {m_{i}{\overrightarrow {O\!A_{i}}}}}{\sum {m_{i}}}}={\frac {m_{1}{\overrightarrow {O\!A_{1}}}+...+m_{n}{\overrightarrow {O\!A_{n}}}}{m_{1}+...+m_{n}}},\quad {\mbox{con}}\quad \sum {m_{i}}\neq 0}$

Esta definición no depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o del espacio, se obtienen las coordenadas del baricentro como promedio ponderado por los m_i de las coordenadas de los puntos A_i:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}=\mathbf {r} _{G}={\frac {\sum {m_{i}\mathbf {r} _{i}}}{\sum {m_{i}}}}={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+\dots +m_{n}\mathbf {r} _{n}}{m_{1}+\dots +m_{n}}}}$

La definición anterior equivale a la fórmula siguiente, más práctica para el cálculo vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{m_{i}{\overrightarrow {G\!A_{i}}}}={\vec {0}}\quad {\mbox{o bien}}\quad m_{1}{\overrightarrow {G\!A_{1}}}+...+m_{n}{\overrightarrow {G\!A_{n}}}={\vec {0}}}$

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al cálculo infinitesimal e integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}={\frac {\int \mathbf {r} \ dm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \ dm}$

• Distribución de masa homogénea: si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación siguiente: ${\displaystyle dm=\rho \ dV}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}={\frac {\rho \int _{V}\mathbf {r} \ dV}{\rho \int \ dV}}={\frac {\int _{V}\mathbf {r} \ dV}{V}}}$

siendo V el volumen total.

Para cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (líneas) se trabajará con densidades superficiales y longitudinales respectivamente.

Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el centro de masas coincidirá con el centroide del cuerpo.

• Distribución de masa no homogénea: los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$. En este caso se calcula el centro de masas de la siguiente forma.

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{cm}}={\frac {\int _{V}\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )\ dV}{M}}}$

Para calcular la integral hay que conocer la función de densidad.

• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.

• Centro de masas en heurema.com Archivado el 16 de abril de 2018 en Wayback Machine.