Centro de gravedad

En la física, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes cuerpos.

El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masa depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.

Como determinarlo en un objeto plano
Paso 1: Considerar una figura 2D arbitraria.
Paso 2: Suspéndase la figura desde un punto cercano a un vértice. Marcar la línea vertical con una plomada.
Paso 3: Suspéndase la figura de otro punto no demasiado cercano al primero. Marcar otra línea vertical con la plomada. La intersección de las dos líneas es el centro de gravedad.

La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo puede reemplazarse por una fuerza única, ${\displaystyle M\mathbf {g} }$, esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, ${\displaystyle -M\mathbf {g} }$, con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura.

Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el c.g. se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo.

Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.

Centro de gravedad.

El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:

${\displaystyle M\mathbf {g} (\mathbf {r} _{\text{c.g.}})=\int _{V}\mathbf {g} (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} )dV}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{c.g.}}\times M\mathbf {g} (\mathbf {r} _{\text{c.g.}})=\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {g} (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} )dV}$

donde M es la masa total del cuerpo y ${\displaystyle \times }$ denota el producto vectorial.

• En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio ${\displaystyle \mathbf {g} }$ es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{c.m.}}={\frac {1}{M}}\int _{V}\mathbf {r} \,\rho (\mathbf {r} )dV}$

• En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por:

${\displaystyle {\frac {{\hat {\mathbf {u} }}_{\text{c.g.}}}{r_{\text{c.g.}}^{2}}}=\int _{V}{\frac {{\hat {\mathbf {u} }}_{r}}{r^{2}}}\ dV}$

Ejemplo. Dada una barra homogénea de longitud L, orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de masa dista una distancia D_c.m.,del centro del planeta, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dado por:

${\displaystyle D_{\text{c.g.}}={\sqrt {D_{\text{c.m.}}^{2}-{\frac {L^{2}}{4}}}}\approx D_{\text{c.m.}}\left(1-{\frac {L^{2}}{8D_{\text{c.m.}}^{2}}}\right)}$

La diferencia entre centro de masas y el centro de gravedad se debe en este caso a que el extremo de la barra más cercano al planeta es atraído gravitatoriamente con mayor intensidad que el extremo más alejado.

• Baricentro
• Centro de masas
• Centroide