Asimetría estadística

En teoría de la probabilidad y estadística, la medida de asimetría más utilizada parte del uso del tercer momento estándar. La razón de esto es que nos interesa mantener el signo de las desviaciones con respecto a la media, para obtener si son mayores las que ocurren a la derecha de la media que las de la izquierda. Sin embargo, no es buena idea tomar el momento estándar con respecto a la media de orden 1. Debido a que una simple suma de todas las desviaciones siempre es cero. En efecto, si por ejemplo, los datos están agrupados en ${\displaystyle k}$ clases, se tiene que:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}f_{i}(x_{i}-\mu )=\sum _{i=1}^{k}f_{i}x_{i}-\mu \sum _{i=1}^{k}f_{i}=\mu -\mu =0\!}$

en donde ${\displaystyle x_{i}}$ representa la marca de la clase ${\displaystyle i}$-ésima y ${\displaystyle f_{i}}$ denota la frecuencia relativa de dicha clase. Por ello, lo más sencillo es tomar las desviaciones al cubo.

El coeficiente de asimetría de Fisher, representado por ${\displaystyle \gamma _{1}}$, se define como:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}},\!}$

donde ${\displaystyle \mu _{3}}$ es el tercer momento en torno a la media y ${\displaystyle \sigma }$ es la desviación estándar.

Si ${\displaystyle \gamma _{1}>0}$, la distribución es asimétrica positiva o a la derecha.

Si ${\displaystyle \gamma _{1}<0}$, la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.

Si la distribución es simétrica, entonces sabemos que ${\displaystyle \gamma _{1}=0}$. El recíproco no es cierto: es un error común asegurar que si ${\displaystyle \gamma _{1}=0}$ entonces la distribución es simétrica (lo cual es falso).

Sólo se puede utilizar en distribuciones uniformes, unimodales y moderadamente asimétricas. Se basa en que en distribuciones simétricas la media de la distribución es igual a la moda.

${\displaystyle A_{p}={\frac {\mu -moda}{\sigma }},\!}$

donde ${\displaystyle \mu }$ es el momento ordinario de orden 1, que corresponde a la media aritmética de la variable ${\displaystyle X}$.

Si la distribución es simétrica, ${\displaystyle \mu =moda}$ y ${\displaystyle A_{p}=0}$. Si la distribución es asimétrica positiva la media se sitúa por encima de la moda y, por tanto, ${\displaystyle A_{p}>0}$.

Está basado en la posición de los cuartiles y la mediana, y utiliza la siguiente expresión:

${\displaystyle A_{BY}={\frac {Q_{3/4}+Q_{1/4}-2Me}{Q_{3/4}-Q_{1/4}}}\!}$

En una distribución simétrica el tercer cuartil estará a la misma distancia de la mediana que el primer cuartil. Por tanto ${\displaystyle A_{BY}=0}$.

Si la distribución es positiva o a la derecha, ${\displaystyle A_{BY}>0}$.